早大理工数学'08[2]

自然数mnに対して
   
で定める。以下の問に答えよ。
(1) をみたすmn1組求めよ。
(2) abcdは整数で、等式をみたすとする。不等式が成り立つならば、となることを示せ。
(3) 任意の自然数kに対し、をみたすmnがただ1組だけ存在することを示せ。

解答 私は意地の悪い人間なので、私なら、(1)は、にしますが、難問というわけでもなく、それでいて、実験をさせながらメカニズムを発見させ、論理的構想力も見ようという問題で、私は、良問だと思います。なお、整数を参照してください。

(1)
ここで、平方数:200から大きく異なると、が大きく、つまり、mnの差が大きくなり、mnのどちらかが大きな自然数になってしまい、平方数:がさらに大きな値になってしまって、等式を満たしにくくなる、ということに、まず、気づかないといけません。
このことに気づけず、機械的に小さい方、mn1から代入していくのであれば、時間的に大きくロスをすることになります。
従って、200に近いものから、候補を順次代入していくべきです。mn1からではない、というところがこの問題のよく工夫されている点です。200に一番近い平方数は、です。そこで、
つまり、
とすると、
となり、条件を満たすので、 ......[]

(2)  ・・・@
より、
問題文に与えられている条件:
 ・・・A
 ・・・B
A−Bより、 (不等式の証明を参照)

Aより、,つまり、です。また、Bより、です。従って、 ()で各辺を割ると、
は整数なので、
@より、

(3) まず、任意の自然数kに対し、,つまり、
として、
となる整数が見つかったとします。
この2式を連立してmnについて解くと、
は連続2整数の積なので偶数であって、は整数です。従って、mnは整数です。ここで、であるためには、
でなければなりません。2番目の方の不等式は、kが整数であることから、
と同値で、結局、
 ・・・C
が満たされればよいことになります。従って、mnが少なくとも1組存在することを言うためには、Cを満たすが存在することを言えばよいことになります。
Cの左の不等号から、
 ・・・D
Cの右の不等号から、
 ・・・E
D かつ Eより、を自然数とすれば、
 ・・・F
この区間の幅は1なのでFをみたす自然数は必ず存在します。
結局、証明のストーリーは以下のようになります。

任意の自然数kに対して、より、
 ・・・F
を満たす自然数が必ず存在します。
Fの左の不等号より、
両辺を2乗して、

Fの右の不等号より、
2乗して整理すると、
従って、任意の自然数kに対して、
を満たす自然数が必ず存在します。このとき、
とおけば、

を満たします。

次に、任意の自然数kに対し、2組の自然数mnを持ってきたときに、
つまり、
とします。
とおくと、@を満たします。
mnは自然数なので、



全く同様にして、
よって、A,Bも満たされるので、(2)より、
つまり、


よって、任意の自然数kに対し、をみたすmnがただ1組だけ存在します。


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