早大理工数学'08年[5]
xyz-座標空間において、原点を中心とする半径1の球面S上に点N
をとる。また
をみたすθ に対し、次の2つの条件
(a) 
(b) 
をみたすS上の動点P，Qについて、線分PQが通過してできる立体図形Tを考える。以下の問に答えよ。
(1) 点Pと点Qのz座標は等しいことを示せ。
(2) 点Pが平面
上にあるとき、線分PQの長さをθ とhで表せ。 (3) Tを平面
で切ったときの断面の概形を描き、その面積をθ とhで表せ。 (4) hのとりうる値の範囲に注意して、Tの体積Vをθ で表し、θ を動かしたときのVの最大値を求めよ。
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解答 「hのとりうる値の範囲に注意して」という注意がないと、
としてしまいそうです。出題者は親切な人らしい。
(1) 原点をOとします。△NPOと△NQOにおいて、
，
，ON共通、より、△NPO≡△NQOよって、P，QからON (z軸)に下ろした垂線の足は一致します。この点をH，Hのz座標をhとすると、P，Qのz座標はともにhで等しくなります。
注．
という場合もあるので注意してください。
(2) 三平方の定理より、
･･･① (
の場合もこれで良い)
(
の場合もこれで良い)
PQの中点、即ち、HからPQに下ろした垂線の足をMとします。
......[答] (
の場合もこれで良い)
(3) P，Qが、球面Sと平面
の交わりとしてできる円周上を動くとき、線分PQ上の点RとHとの距離HRは、
･･･② を満たします。 
･･･③
これと①より、不等式②の左辺と右辺のMH，PHは、P，Qの位置に依存しません。
これより、Tの断面の概形は、半径
の円と半径
の円にはさまれた部分(右図で、黄緑色に着色した部分、境界線を含む)になります。
断面の面積
は、④と(2)のPMを利用して、
......[答] (
の場合もこれで良い)
(4) ④において、
より、
です。 
とおくと(
)、増減表より(関数の増減を参照)、Vは、
のとき、最大値：
......[答]
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