早大理工数学'09[2]

に対し、行列A
で定める。xy平面上の直線とする。の各点を行列Aで表される1次変換で移してできる直線をとし、の各点をAの逆行列で表される1次変換で移してできる直線をとする。また、の交点をPの交点をQの交点をRとし、△PQRの面積をとする。以下の問いに答えよ。
(1) 直線と直線の方程式を求めよ。
(2) 3PQRの座標を求めよ。
(3) を求めよ。
(4) を最小にするaを求めよ。

解答 単なる計算問題です。

(1) 直線上の点は、Aで表される1次変換によって、
 (行列の積を参照)
より、に移ります。
2式より,これを第1式を代入すると、

......[] ・・・@
直線上の点は、で表される1次変換によって、
より、に移ります。
2式より,これを第1式を代入すると、

......[] ・・・A

(2) @にを代入すると、
P ......[]
Aにを代入すると、
Q ......[]
@,Aを連立して解くと、
R ......[]

(3) PQRの底辺PQの長さは、 ()
PQRの高さは、 ()
......[]

(4)  (商の微分法を参照)

より、とすると、
()
a0


0



増減表より、を最小にするaは、 ......[] (関数の増減を参照)


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