早大理工数学'09[4]

以下の問いに答えよ。
(1) 半径rの円に内接し、1つの対角線の長さがlであるような四角形の面積の最大値をrlで表せ。
(2) 半径rの円に内接する四角形の面積の最大値を求めよ。
(3) 空間内の点Oを頂点とし、四角形ABCDを底面とする四角錐(すい)を満たしているとする。そのような四角錐の体積の最大値を求めよ。

解答 

(1) 半径rの円に内接する四角形の4頂点をABCDとし、長さがlである対角線をBDとします。です。
BCを端点とする2つの円弧のうち、Aがいる円弧をCがいる円弧をとします。
同一弧の上に立つ円周角は等しいので、
A上のBD以外のどこにいてもであり、C上のBD以外のどこにいてもです。
正弦定理より、
 ・・・@
AからBDに下ろした垂線の足をHCからBDに下ろした垂線の足をKとすると、
三角形
BADの面積は、
三角形
BCDの面積は、
A上を動くとき、AHは、AH2等分するときに最大で、このときも最大になります。このとき、であり、
同様に、C上を動くとき、は、CK2等分するときに最大になります。このとき、であり、
従って、四角形ABCDの面積の最大値は、

......[] ( @)
別解.上記で、AHCKが最大になるときには、HKは同一の点で、ACは直径になります。このときの四角形ABCDの面積は、

(2) (等号は、四角形ABCDが正方形のときに成立)なので、(1)の結果より、
半径rの円に内接する四角形の面積の最大値は、 ......[]

(3) なので、ABCDは、Oを中心とする半径1の球面上の点です。四角形ABCDを含む平面でこの球を切ると、切り口は円になりますが、ABCDはこの円の周上に位置するので、四角形ABCDは円に内接する四角形です。切り口の円の半径をrとすれば、(2)より、四角形ABCDの面積の最大値はとなります。
球の中心Oと四角形ABCDとの距離は三平方の定理より、,これが、四角錐の高さになります。よって、四角錐の体積は、

()とおくと、
r0

1

0
00

増減表(関数の増減を参照)より、の最大値:
体積の最大値:
......[]


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