早大理工数学'09[5]検討

[5](解答はこちら) 平凡な微積計算・はさみうちの極限の問題なのですが、ボリュームはたっぷりあるので途中でメゲてしまった受験生が多いようです。(3)で挫折してしまった受験生は、極限の公式:が思いつけなかったのでしょう。この公式は、の導出に出てくるにおいて、とおき、とすれば得られる公式です。記憶していなかったとしても、試験場で即座に導出できて欲しい公式です。数学Vの比重が高い早大理工、慶大理工あたりでは、を使う問題をよく見かけるので、来年、受験しようという方は、この辺は要注意です。
(3)では、はさみうちの形を作ることが目標になります。受験生の負担を軽くするために、問題文では、
がヒントとして与えられてしまっていますが、ノー・ヒントだったとしても、マクローリン展開などから、xが小さいときには、
 (右辺の末項のでは右辺がよりも大きくなってくれない)
となることを着想できると思います(証明はの増減を調べる)
xには、などの制限が付きますが、各辺から1を引いてxで割れば、
が得られます。


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