早大理工数学'10年[4]検討

早大理工数学'10年[4]検討

[4](解答はこちら)　空間図形の要素もありますが、主体は、

という数学Ⅲの積分計算の部分にあります。計算はかなりややこしいですが、何とか正解しておきたい問題です。
空間図形の部分については、慶大理工07年[A4]などにも見えるタイプのもので、知識がないと手がつかないかも知れません。ですが、しっかりと準備しておけば定型的な処理で解決できます。数多くの入試問題の中では必ず出題されるタイプの問題なので、本問で理解をしておくようにしましょう。切り口を図示する部分がやや難航するかも知れません。東工大98年後期[2]に比べれば大したことはありませんが、解答の中で、x座標kを使って不等式を作っておき、後で、kをxに書き換える、という要領を習得してください。

という積分は、解答に書いたように、

として部分積分することが多いと思いますが、本問のように、

(

は双曲線関数です)

とおいて置換積分することもあります。これは、

で

とおいて置換積分することに似ています。オイラーの公式：

を思い浮かべれば自然な流れです。
なお、この積分には、他に、

とおいて置換積分する技巧が知られています。今年、このことに関連した問題が東大理系前期[4]で出題されました。東大理系前期[4]検討に書きましたので、参考にしてください。

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