早大理工数学'11[4]

xy-平面上の原点をOとし、楕円 ()Eとする。E上の点PにおけるEの法線とx軸との交点をQとする。点Pの範囲を動くとき、が最大になる点Pを求めよ。

解答 は直線OPと法線のなす角なので、直線の傾きから正接の加法定理を考えることになります。

P楕円上の点なので、
よって、 ・・・@

PにおけるEの接線は、
この傾きは,よって、法線と
x軸正方向とのなす角をαとして、法線の傾きはです(2直線の平行・垂直を参照)
直線
OPx軸正方向とのなす角をβ として、直線OPの傾きは
なので、法線と
x軸との交点Qの部分にあることから、
よって、

 (正接の加法定理を参照)
 ( @)
は一定値ではないので、相加平均相乗平均の関係の形では使うことはできませんが、@の右辺が一定であることに着目して、相加平均相乗平均の関係より、
(不等号の等号が成立するのは,つまり、のとき)
より、

不等号の等号が成立するのは、のときで、このとき、@より、
が最大となる点
Pは、 ......[]


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