早大理工数学'11[5]

四面体OABCにおいてである。また、とする。以下の問いに答えよ。
(1) 内積を求めよ。
(2) OABを含む平面をHとする。H上の点Pで直線PCHが直交するものをとる。このとき、となるxyを求めよ。
(3) 平面Hを直線OAABBOで右図のように7つの領域ア,イ,ウ,エ,オ,カ,キにわける。点Pはどの領域に入るか答えよ。
(4) ABで△ABCと△OABのなす角は鋭角になるか、直角になるか、それとも鈍角になるかを判定せよ。ただし、1辺を共有する2つの三角形のなす角とは、共有する辺に直交する平面での2つの三角形の切り口のなす角のことである。

解答 1次結合を作るだけなのですが、試験会場では意外と苦しむかも知れません。

(1) です。
より、
 (内積を参照)
......[]
より、
......[]
より、
......[]

(2)
直線PCHが直交する、ということは、が、Hを作る2つのベクトルのいずれとも垂直になる、ということです。(1)を使って内積計算をします。
より、
 ・・・@
より、
 ・・・A
6+Aより、
 ∴ ......[]
Aより、 ∴ ......[]

(3) (2)より、 ・・・B
となりますが、の係数が負であることから、点Pは直線OBよりも左側にあります。の係数が正であることから、点Pは直線OAよりも上側にあります。よって、点Pの位置は、ウかエです。ウとエを分けているのは直線ABなので、直線ABよりも右か左かあるいは直線AB上かを調べればよいことになります(平面ベクトルの応用を参照)
Bを
1次結合で表すことを考えます。
の係数、の係数がともに正なので、点Pが入るのは、領域ウ ......[]
追記.と表すとき、であれば、点Pは直線AB上の点です。のときは点Pは直線ABよりO側の点です。のときは点Pは直線ABに関してOと反対側の点です。Bでは、なので、ここからも、点Pが領域ウにあることがわかります。

(4) Pから直線ABに垂線PKを下ろし、△OABを含む平面内で点Kを通るベクトルと、△ABCを含む平面内で点Kを通るベクトルとの内積の正負を考えればよい(2三角形のなす角は、内積が正なら鋭角、0なら直角、負なら鈍角)のですが、内積の計算は複雑です。ここでは、(3)を利用します。
2つの三角形が共有する辺ABに直交する平面として、点Kを通り直線ABに垂直な平面αを考えると、三角形OABを含む平面と平面αとの交線は、点Kで直線ABと直交します。三角形ABCを含む平面と平面αとの交線は直線CKです。直線CKは、直線ABと直交します。点Cから△OABを含む平面Hに下ろした点が点Pで、点Pは、直線ABの右側、△OABは辺ABを除いて直線ABの左側にあるので、△ABCと△OABのなす角は鈍角 ......[]


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