早稲田大学基幹・創造・先進理工学部2012年数学入試問題

[1]
 以下の問いに答えよ。
(1) 複素数αβ に対してならば、またはであることを示せ。
(2) 複素数αに対してが正の実数ならば、αは実数であることを示せ。
(3) 複素数,・・・, (nは自然数)に対して、,・・・,,・・・,およびがすべて正の実数であるとする。このとき、,・・・,はすべて実数であることを示せ。
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[2] 初項をとし、以下の漸化式で定まる数列を考える。
 ()
ただし、xを越えない最大の整数を表す。次の問いに答えよ。
(1) とする。このとき、となる最小のnを求めよ。
(2) m2以上の整数とし、とする。このとき、をみたすjに対してjmで表せ。
(3) m2以上の整数、pをみたす整数とし、とする。このとき、となるkを求めよ。さらに、となる最小のnを求めよ。
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[3] 表が出る確率がa (),裏が出る確率がのコインを1枚投げる試行をn回行う。ただしとする。このn回の試行の結果、表が2回以上出る事象をで表す。また1回目からn回目の試行が終わるまでに、「裏→表」の順で出ない事象をで表す。次の問いに答えよ。
(1) 確率を求めよ。
(2) 確率を求めよ。
(3) 極限
を求めよ。ただし、をみたすrに対して、となることを証明なしに用いてよい。
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[4] 関数
 ()
について、次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) のグラフの概形を描け。
(3) 曲線上を動く点をPとする。点Qは、曲線Pにおける接線上にあり、Pとの距離が1で、そのx座標がPx座標より小さいものとする。Qの軌跡を求めよ。
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[5] xy平面上に2ABをとる。をみたす平面上の点Pの全体と点ABからなる図形をFとする。次の問いに答えよ。
(1) Fを図示せよ。
(2) Fx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。
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