早大理工数学'13[3]

とする。次の問いに答えよ。
(1) 実数t に対してとおく。xが実数全体を動くとき、が最大値をもつようなt の範囲を求めよ。またt がその範囲にあるとき、の最大値とそのときのxの値を求めよ。
(2) (1)で求めた最大値をとする。aを定数とし、t の関数を考える。t (1)で求めた範囲を動くとき、の最大値を求めよ。

解答 面倒な微分の計算問題です。慎重に計算しましょう。

(1)  (微分の公式を参照)
は単調増加(関数の増減を参照)で、より、となる値をとります。
(i) のとき、
とすると、
 (対数関数を参照)
よって、においては増加、においては減少。
従って、において最大値をとります。
(ii) のとき、すべての実数xに対しては単調減少。このときは、は最大値をとりません。
以上より、が最大値をもつt の範囲は、 ......[]
の最大値は、 ......[]

(2) ()


とすると、

なので、すべての実数
aに対してこれを満たすt が存在します。
においては増加、においては減少。は、において最大値をとります。求める最大値は、


......[]


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