早大理工数学'20年[3]
曲線
の
の部分とx軸上の線分
のなす曲線をCとし、Cをy軸のまわりに1回転してできる容器をVとする。ただし、
は
で定義された正の関数とする。Vに毎秒一定量vの水を注ぐとする。t秒後のV内の水位を
とするとき、以下の問に答えよ。
(1) 水位が一定の速さで上昇するとき、
は定数関数であることを示せ。 (2) 
のとき、
を求めよ。
解答 多分、
(最初に水はたまってない)として計算を進めて大丈夫だと思いますが、試験会場では試験監督に確認した方が良いと思います。
(1) y軸の回りの回転体なのでy軸に垂直に切った断面は半径xの円です。断面の円の面積は、
，y軸のまわりの回転体の
の部分の体積(水の入っている部分の体積)は、t秒間に注がれた水量
に等しく、 
･･･①両辺をtで微分すると、
水位が一定速さで上昇するとき
は定数で、
は定数関数です。
(2) ①で
として、
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として、
(
)より、
......[答]