早大理工数学'22[1]

とおく。xy平面上の曲線C,曲線Dとする。以下の問に答えよ。
(1) CDの概形を一つのxy平面上に描け。
(2) CDによって囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(3) CDによって囲まれた部分を、x軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

解答 (3)の積分は、難しくはありませんが、紛らわしく非常に面倒で、試験会場では後回しにするのが賢明です。

(1) (微分の公式を参照)より、Cのグラフは単調増加で下に凸です(関数の凹凸を参照)
 (合成関数の微分法を参照)
とすると、 (対数関数を参照。以下において、のときのときのときとなります)
とすると、
,以上より、の増減表は以下のようになります。

x 0  
0
0

とすると、
 ∴  ∴
CDは、において交わります。
また、
以上より、
CDの概形は、右図のようになります。

(2) とすると、
CDによって囲まれた部分は、の範囲にあります。よって、その面積Sは、
......[]

(3) とすると、
 ∴  ∴
とすると、 ∴
とすると、 ∴
(1)
の解答のグラフにのグラフを重ねて描くと右図のようになります。グラフより、CDによって囲まれた部分(黄色着色部)を、x軸の周りに1回転させると、外側に来るのは、
においては
DにおいてはCです。
回転体の内側でくり抜ける部分の境界に来るのは、
においては
CにおいてはDです。
これより、求める
立体の体積Vは、
 (:積分定数)
 (:積分定数)
として、以下、積分定数を省略すると、
 ・・・@







これらを@に代入して、
......[]


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  早大理工数学TOP  数学TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。

【完全記憶術】円周率π(Pi)円周率表記〜「円周率(π)」を暗記するためにはじめに読むべき一冊〜
【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。
inserted by FC2 system