数列演習'08年[15]
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(数列の和) 各項が正である数列
の初項から第n項までの和
が
(
)
(2) 
(
)を示せ。 (山形大工'08)
解答 (3)の後半は数学Ⅲの極限の問題です。
(1)のような、
と
が登場する問題では、
を利用するのが定石です(数列の和と一般項を参照)。
(
) ･･･①
(1) ①において、
とすると、 ∴ 
∴ 
(
)よって、
ですが、①両辺の2乗を考えてみてもうまく行きません。ここは発想の転換をします。ふつうは①から
，
を消去して、
，
が出てくる関係式を作るのですが、逆に、
，
を消去して、
，
が出てくる関係式を作るようにします。 を①に代入して、
分母を払って、
∴ 
(
) ･･･②
(2) ②は、数列
の階差数列が、
であることを示しています。階差数列の公式より、 ∴ 
(
)
(3) 
のとき、∴ 
.......[答]
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，
(
)を示せ。
(
)を示し、
を求めよ。
(
，
より、
のときもこれでよい)
