衝突・合体・分裂の問題

解説 2物体が、衝突・合体・分裂する問題では、運動量保存の式を立てます。
運動量が保存される状況
(力積を与える外力が存在しない)にあるかということを検討する必要もあります。斜面上で2物体が衝突する問題や、ばねにつながれた物体との衝突などです。ですが、こういう場合でも、衝突の間に2物体が接触していた時間は極めて小さいとして、運動量保存が成立するという前提で考える場合がほとんどです。

衝突の問題では、
2物体の速度を未知数として、反発係数の式を立て、運動量保存の式と連立させて解きます。これは、問題文を読んで、2物体の衝突の問題だと思ったら、条件反射的に、運動量保存の式と反発係数の式を答案用紙に書いているようでなければいけません。大学入試物理では再頻出タイプの問題です。

運動量が保存されているとき、
2物体の重心等速度運動するので、重心から2物体の運動を眺めるという手法が有効なときもあります。

可動斜面に物体が乗り上げて滑り落ちた後に、物体と斜面とが分かれて進むような問題、また、自由な物体とばねにつながれた物体との衝突の問題において、力学的エネルギー保存が成立するなら、反発係数
1の衝突の問題として扱うことができます。力学的エネルギー保存の式では速度の2乗が出てくるのでどうしても2次方程式になりますが、反発係数の式なら1次方程式ですむので、力学的エネルギー保存の式の代わりに反発係数の式を立てる方が簡単にすみます。

合体の問題は、反発係数
0の問題としてとらえることもできますが、結局は合体後2物体が同一の速度で進むとして、運動量保存の式を立てれば解決します。

 質量mMの物体A,物体B速度vVで近づいてきて衝突(反発係数e)後、速度uUになったとします。摩擦などは考えないことにします。
運動量保存の式: ・・・@
反発係数の式
・・・A
Aより、,@に代入して、


(1) 物体Bがはじめ止まっていた()とすると、

物体Aがもと来た方向に引き返す条件は、uvと異符号ということで、
(軽いAが重いBにぶつかると跳ね返される)

(2) 物体Aと物体B質量が等しい場合()は、


2物体のうちいずれか一方が箱状になっていて、2物体が衝突を繰り返しながら進んでいくような状況設定の問題があります。このような場合は、n回衝突後の物体A,物体B速度として、
より、
1回衝突するごとに、相対速度は倍されていきます。
n回衝突後の相対速度は、

さらに、完全弾性衝突()の場合には、となるので、衝突後2物体で速度が交換されます。この事実は覚えておくと便利です。

(3) (2)において、最初、物体Bが止まっていたとき()には、

n回衝突後の相対速度は、
運動量保存より、重心は等速度運動する。
1回目の衝突までの重心の速度はなので、

n回衝突後の運動エネルギーの和は、

のときには、とすると、となる。何度も衝突を繰り返すと、両者の速度は等しくなってきます。
また、となります。運動エネルギーの和ははじめの値のに近づいていきます。


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