誘電体がある場合のガウスの法則

電気を通さない物質を不導体(絶縁体)と言います。ほとんどの不導体の分子(あるいは原子)には電気的に偏りがあって、電気双極子として振る舞います。不導体を電気双極子の集団と見るとき誘電体と言います。
正電荷を帯電させた極板(正極板)負電荷を帯電させた極板(負極板)の間に誘電体を置くと、静電誘導により、誘電体の正極板に面している側に負電荷が現れ、誘電体の負極板に面している側に正電荷が現れます。このとき、誘電体の中の電気双極子の一つ一つが、正極板側に負電荷、負極板側に正電荷を向けるのです。この現象を誘電分極と言います。

電気双極子一つの電気双極子モーメントを
とします。誘電体の中に単位体積当たりN個の電気双極子があるとして、誘電体内の電気双極子モーメントの密度、分極ベクトルと言います。

大きさ
pの電気双極子モーメントをもつ電気双極子が位置(z軸とのなす角をq とする)につくる電界r方向成分q 方向成分は、
ここでの方向(z軸、つまり双極子モーメントの方向)の方向を考えると、より、電界の方向と双極子モーメントの方向は一致します。特殊な物質を除いて、誘電体に電界をかけると、分極ベクトル電界と同じ向きとなり、
と書けます。比例定数を電気感受率と言います。
電気双極子モーメントの単位は
分極ベクトルはこれに密度をかけたもので単位は、(電束密度と同じ単位),よって、電気感受率の単位は、です(真空の誘電率と同じ単位)

右図に誘電体Kを入れていない場合と、入れた場合について、電気力線の状況を示します。両極板を孤立させた状態に置くと、極板の電荷に違いはありません。極板間に誘電体Kを入れると、分極の分だけ誘電体K内では電気力線が減少し、電界も弱くなります。
誘電体のないときの元々の
電界電束密度だとします(電束密度については、ガウスの法則の一般化を参照)
誘電体
Kを入れたとき図のように、誘電体K内部では、分極の分だけ電気力線の本数が減少し電界が弱められて、になったとします。誘電体K内の分極となりますが、極板の電荷には変化がなく、電束密度のまま(電束電荷です)です。この電束密度は、分極と、仮に電界が真空中にあったとしてできる電束密度の和になります。よって、
誘電体K内の電束密度は、電気力線による分と、分極による分を合わせて、この電束密度とします。として、
となります。このe(誘電体K)誘電率と言います。誘電体の誘電率eは、より、真空の誘電率と比較して、となります。

真空中において、閉曲面上の各点で
電界が一様でかつ曲面の接平面に垂直である場合には、閉曲面の面積Sとして、
が成立しますが、誘電率eの誘電体が存在しているときは、
という形になります。
また、
比誘電率と言います。誘電体がある場合の電界と、ない場合の電界を比べると、より、
 ・・・@
つまり、比誘電率の誘電体を極板間に入れることにより、極板間の電界になります。

空間中に
電荷が密度rで連続的に分布しているとき、電界について、
が成立しますが、誘電率eの誘電体中では、電界は@より、として、
となります。なので、を使えば、誘電体の中でも、真空中でも、
という形になります。


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