変位・速度・加速度

時刻tにおける物体の位置のとき、物体の速度は、加速度は、
また、
加速度が時間の関数としてと与えられているとき、時刻における速度(初速度)として、時刻tにおける速度は、
時刻における位置として、時刻tにおける位置は、

解説 運動する物体P時刻tにおける位置で表されるとします。の成分は時刻tの関数になります。
以下、簡単のために、
Pxy平面上を運動するものとして、とします。
Pが時間の間に、x方向にy方向に動くとすると、時刻におけるP位置です。
この間の
Pの位置の変化変位と言います。
変位の単位は、位置、距離と同じく
[m]です。

単位時間(1)あたりにどれくらい移動するかということで、物体の移動する速度を考えることができます。
平均速度と言います。これの大小により、の間の物体の移動について、速いか遅いかを考えることができます。
平均速度の単位は、距離を時間で割った
[m/s]です。

例1 3秒間x方向に12y方向に21進む物体があるとする。この物体の平均速度は、x成分がy成分がより、です。

刻々と速度が変化するような物体の場合、平均速度だけでは、速いか遅いかを正確に扱うことができません。
そこで、とした極限を考えるのです。この極限操作を行った時間を微小時間と言います。
平均速度のとしたときの極限速度と言います。速度は、各瞬間で移動の割合を考えたものです。
は、時刻
tの関数を時刻tで微分したもの(導関数)を表します。速度変位を時間で微分したものです。
速度はベクトルですが、速度ベクトルの大きさ
速さと言います(根号部分は、曲線の長さの公式に出てくる形です)
速度の単位は、平均速度と同じく、[m/s]です。

Pの速度が時間の間に変化したとします。微小時間における速度変化、つまり、としたときの速度変化の極限加速度と言います。
より、として、です。
t2回微分することを表します。
この記号を使って、と書くことにします。
加速度は、速度を時間で微分したものであり、変位を時間で2回微分したものです。
加速度の単位は、速度を時間で割ったものになり、[]です。

例2 時刻tにおける物体P座標と表されるとき、
時刻tで微分して、
P速度は、です。
より、
P加速度は、です。

1次元の運動の場合、物体がx軸に沿って運動し、時刻tにおける加速度時刻における速度だとして、時刻tにおける速度は、
となりますが、定積分は面積を表すので、atグラフの面積は速度変化を表す、と言うこともできます。
また、
時刻におけるx座標だとして、時刻tにおけるx座標は、
となりますが、vtグラフの面積は変位を表す、と言うこともできます。


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