発散

ベクトルの各成分がそれぞれxyzの関数になっているとき、
 (偏微分を参照)
をベクトル発散(divergence)と言います。
右図のような直方体を考えます。直方体の各辺はx軸,y軸,z軸のどれかに平行で、x座標はxの間、y座標はyの間、z座標はzの間にあります。
x方向について、xからまでのの増分をy方向について、yからまでのの増分をz方向についてzからまでのの増分をとすると、は、ベクトルの各成分のそれぞれの方向における平均変化率を表します。
ベクトル
の流れのようなものを考えて、この流れがこの直方体を通過するとき、x方向の流れがy方向、z方向に回るものもあるし、y方向の流れがz方向、x方向に回るものもあるし、z方向の流れがx方向、y方向に回るものもあります。
ですが、点
Aに隣接する3面から流入して、点Bに隣接する3面から流出する流れを考えると、ただ単にベクトルが流れていくだけであれば、3方向の平均変化率を加えたものは相殺されて0になるはずです。
ですが、この直方体の中で、ベクトルが湧き出したり、ベクトルが吸い込まれてしまう場合には
0になりません。
は、この直方体の中で、ベクトルが湧き出したり吸い込まれてしまう分量を表しているのです。
ここで、
(yzを固定) (zxを固定) (xyを固定)としたものが、の発散になります。
つまり、発散
は、空間内のある点において、微小な立方体を考えたときに、この直方体内で湧き出したり吸い込まれたりしたベクトルの変化率を表しています。


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