電磁波

マクスウェルの方程式
 ・・・@
 ・・・A
 ・・・B
 ・・・C
において、空間中に電荷電流が分布していないとして、電荷密度電流密度とします。@は、
 ・・・D
となり、Bは、
 ・・・E
となります。
E式両辺のrot (回転を参照)をとると、
となりますが、右辺は、とC式より、
 ・・・F
となります。左辺は、ベクトル解析の公式より、
 ( Aより、) ・・・G
F,Gより、 ・・・H
同様に、C式より、Eを用いて、

また、 ( Dより、)
よって、 ・・・I
H,Iより、電界磁界も同じ形の方程式(の形の方程式を波動方程式と言います)に従うことがわかります。

1次元で、xにのみ依存するz成分のみをもち、x成分,y成分が0となる場合を考えてみます。Iは、
 ・・・J
となりますが、この偏微分方程式の解は、の形をしていることが知られています。実際に代入してみると、
 (偏微分を参照)
となり、Jを満たしていることがわかります。

ここで、
tを固定してという関数のグラフを考えると、のときのグラフx軸負方向にだけ平行移動したグラフを表しています。tを時間とすれば、速さvx軸負方向にのグラフが移動することになります。同様に、tを固定してのグラフは、tを時間としてのグラフを速さvx軸正方向に移動したものになります。
Jは、
におけるが速さで移動する波動現象を表しているのです。Hについても同様に1次元で考えると波動を表します。この電界磁界の波動が電磁波です。x軸負方向に進む波動で退行波、x軸正方向に進む波動で進行波と言います。真空中においては、と考えて、電磁波の伝播速度は、
となり、光速に一致します。このことから、光も電磁波の一種であることがわかります。

3次元の場合には、Iの解は、 (は定数) (は定数)として、
 ・・・K
の形に表せることが知られています。実際に代入してみると、
 (Laplace演算子Dについては、ベクトル解析の公式を参照)
となり、,つまり、であれば、Iを満たします。は波の進行方向を表していて、の波の進行方向成分を表しています。
Dより、
なので、
 (発散を参照)
これが恒等的に成り立つためには、,即ち、は垂直でなければなりません。ということは、電界の振動方向は、波の進行方向と垂直になっていて、電界の波動は横波だということがわかります。
全く同様にして、Aより、
なので、Hの解をKと同じ形:に書くことができて、磁界の波動も波の進行方向と垂直になっていて、磁界の波動も横波であることがわかります。
Kの位相をある値
q とおくと、
 ・・・L
は、平面の方程式になっています(平面のベクトル方程式を参照)。Kの波動を平面波と言います。は、この平面の法線ベクトルで、この平面に垂直です。ということは、電界磁界の波動の振幅を表すベクトルは、あるに対する平面L上のベクトルになっているということです。
また、Eより、
となりますが、を代入すると、
 (回転を参照)
より、
は垂直だったので、も垂直になります(外積を参照)。つまり、電界磁界のそれぞれの波動の振動の方向は互いに垂直になっているということがわかります。また、電磁波の進行方向は、電界の振動方向から磁界の振動方向に回る向きを右ねじの向きとして、右ねじの回る向きだということもわかります(右ねじの法則を参照)


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