エネルギーの原理

物体の運動エネルギーの変化は、その間に受けた仕事に等しい。この原理をエネルギーの原理と言う。

運動方程式の両辺と微小変位との内積をとり、位置から位置まで積分する。
 
・・・@
2次元の運動の場合、左辺の積分は、として、
 
・・・A
この積分の値を
仕事と言う。
右辺の積分は、
 
・・・B
ここで、右辺第
1項の積分をxの積分からtの積分に変換します(置換積分)より、のとき、tとして、
 
さらに、より、
 
  
Bの右辺第2項の積分も同様にして、xyに入れ替えれば、
 
のときの速度をそれぞれ、,また、とすれば、Bは、
 
   ・・・C
@,A,Cより、
 
これは、運動エネルギーの変化が受けた仕事に等しいことを示している。
上記の説明は、数Vの積分を学習していない人には高度なので、とりあえず、エネルギーの原理の内容を覚えること。

仕事は、が一定である場合には、より、変位として、
 
即ち、仕事は、のベクトルと変位ベクトルとの内積に等しい。の向きと変位の向きのなす角をq とすると、として、
 
の向きと変位の向きとが直角になる場合は、となり、となる。つまり、移動の向きと垂直に働く場合には、その仕事をしない。
の向きと変位の向きが同じ()ときには、となり、となる。つまり、仕事×変位になる。
の向きと変位の向きがちょうと逆向き()のときには、となり、となる。このときには、は負の仕事をする。つまり、運動エネルギーを減少させる働きをする。


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