電荷が連続的に分布する場合のガウスの法則

微分型のガウスの法則

複数の電荷が存在する場合のガウスの法則の項で求めた
 ・・・@
は、位置ベクトルで指定される位置の微小体積部分密度電荷が存在する場合、この微小体積内の電荷であり、これを電荷が存在する領域V(閉曲面Uで囲まれた領域)に渡って体積分すれば全電荷になります。
つまり、@の
と考えることができます。
ガウスの定理により、@の左辺は、
よって、@は、電荷が連続的に分布する場合には、
 ・・・A
閉曲面の外側に位置する電荷は、閉曲面内の電界には影響しないので、どのように閉曲面をとってもA式は必ず成立します。つまり、空間内のいかなる点においても被積分関数は等しくなります。即ち、
 ・・・A
A式は、微分型のガウスの法則と呼ばれます。
A式は、空間内に分布する全ての
電荷から電気量の倍の本数の電気力線が出て行く(負電荷なら終端する)ことを意味しています。A式右辺のr電荷密度ですが、電界電気力線の密度であることに注意してください。


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