複数の電荷が存在する場合のガウスの法則

原点Oに置かれた電荷Qが凸な閉曲面Uの外側にあるとき、原点Oから閉曲面に接線を引き、接点が作る曲線を境界として、閉曲面を原点から遠い側Aと近い側Bに分けます。
A上の各点Rと原点Oとを半直線ORで結ぶと、半直線ORは、閉曲面UB側ともう一つ交点Pを持ちます。
として、RPにおける電界は、より、曲面A,曲面Bにおける電界面積分を考えます。曲面Aについては、
曲面Bについての面積分では面積素片は、閉曲面Uの内側から外側に向くのですが、原点O側から曲面Bを見るとき(このときの曲面をとします)の面積素片は、となるので、
ところで、A立体角の立体角とは等しいので、閉曲面全体では、
つまり、閉曲面Uの外側の電荷は、面積分には寄与しません。面積分に寄与するのは、閉曲面Uの内側の電荷だけです。

閉曲面
Uの中に複数の電荷が存在する場合、ここで一つの仮定を置きます。空間内の電界は、各電荷が空間内の各点に作る電界を足し合わせたものだとします。これを重ね合わせの原理と言います。電界はベクトルなので、当然、ベクトル的に足し合わせることになります。
閉曲面
U内に、n個の電荷,・・・,が存在する場合には、電荷が閉曲面内のどこにあっても、
 ・・・A
となります。


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