ガウスの法則の一般化

閉曲面Uで囲まれた領域内に電荷Qが存在するとき、閉曲面上における電界として、
ガウスの法則
が成立する。

真空中で原点O電荷Qが置かれているとき、原点Oを取り囲む任意の閉曲面Uについて、閉曲面上の各点における電界面積分を考えます。

 (立体角を参照)
従って、球面上で考えたガウスの法則,即ち、電荷Qを取り囲む球面を通過する電気力線の本数は本になる、という法則は、任意の凸な閉曲面Uにおいても成り立ちます。

閉曲面上の各点で
電界が一様でかつ曲面の接平面に垂直である場合には、閉曲面の面積Sとして、
 (面積分を参照)
これより、
 ・・・@
という公式が得られます。平行平板コンデンサーの静電容量を求めるのに便利な公式です。

電荷Qから本の電気力線が出るのですが、電荷QからQ本の線が延びるのだと考えたものを電束と言います。単位面積当たりの電束電束密度と言います。真空中では、電束密度電界との間には、
という関係があります
真空の誘電率
の単位は電界の単位は[N/C]なので、電束密度の単位は、電束の単位は[C](電荷と同じ)となります。
電束密度の大きさDを用いると、公式@は、
 (電束DS電荷Qに等しいと覚えます)
という簡単な形になります。


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