北大物理'09年[2]
図1のように、面積
の薄い正方形の極板AとBを距離
だけ隔てて真空中に平行に配置し、スイッチ
および起電力
の電池と導線で接続した。極板Bは接地されている。最初スイッチ
は開いており、極板AとBに蓄えられている電気量(電荷)はゼロであった。真空の誘電率を
で表す。極板間に生じる電界(電場)は一様であるとして、以下の文章の に適切な数式を入れよ。問題文に現れる記号は解答に用いてよい。
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解答 前半は、静電容量の公式：
を求める内容になっていますが、受験生には、やや意表を突く出題かも知れません。(2)は公式から逆算してもよいでしょう。後半は、静電エネルギーの変化を考える基本的な問題です。
物理の入試問題一般に言えることですが、「問題文に現れる記号は解答に用いてよい」という問題文の指定に注意してください。個人的には、こうした曖昧な指定ではなく、「問題文に現れる記号のみを用いて解答せよ」と、明確な言い方にするべきではないか、と思います。
......[答](2) 極板Aをぴったりと覆う閉曲面の面積は
，極板Aの電荷から出る電気力線の本数は
です。極板Aが上側また下側に作る電界の大きさを
として、ガウスの法則より、 同様に、極板Bが上側また下側に作る電界の大きさ
は、 極板A，B間では、
と
とが重なり合うので、極板A，B間の電界の大きさ
は、 
......[答](3) (1)，(2)より、
∴ 
......[答] (4) 極板A，B間に蓄えられた静電エネルギー
は、極板Bがつくる電界
中で、極板Aの電荷Qを、極板Bの位置から距離dだけ引き離すのに必要な仕事に等しくなります。極板間のクーロン力につり合う一定の大きさ
の外力が距離d働く、として、 
......[答]
問2(5) 極板Aと金属板Mの間にできるコンデンサーの静電容量
は、 
･･･①極板Bと金属板Mの間にできるコンデンサーの静電容量
は、 
･･･②金属板Mの極板A側の面には電荷
，金属板Mの極板B側の面には電荷
が蓄えられ、その和は
です。 
･･･③①，②より、
∴ 
･･･④
④－③より、 
･･･⑤
......[答](6) ⑤を③に代入して、
･･･⑥
......[答](7) (2)の結果を利用して、極板Aと金属板Mの間に生じた電界の大きさ
は、①，⑤より、 
......[答](8) ①，⑤より、コンデンサー
に蓄えられた静電エネルギーは、 ②，⑥より、コンデンサー
に蓄えられた静電エネルギーは、 金属板Mを含む極板A，B間に蓄えられた静電エネルギー
は、 
......[答](9) スイッチ
を開いて金属板Mを平行移動させるので、極板A，極板Bの電荷は
，
のまま変化しません。金属板Mの平行移動後、極板Aと金属板Mの間のコンデンサーの静電容量
は、 極板Bと金属板Mの間のコンデンサーの静電容量
は、 金属板Mの移動後、金属板Mを含む極板A，B間に蓄えられた静電エネルギー
は、 平行移動に要した仕事は、静電エネルギーの増加分に等しく、
......[答](10) (2)の結果を利用して、このとき極板Aと金属板Mの間に生じた電界の大きさ
は、 
......[答]注．金属板Mを平行移動しても、極板Aの電荷に変化がないので、極板Aと金属板Mの間の電界は、その距離によって変化することはありません。
(11) 極板Aと金属板Mの間の電圧
は、 金属板と極板Bの間の電圧
は、 極板Aの電位は、
......[答]
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を閉じて十分な時間が経過したとき、極板A，B間にできる電界の大きさは、Vとdを用いて (1) 
と表せる。一方、極板Aに蓄えられた電気量を
とすると、極板A，B間の電界の大きさは、Q，
，Sを用いて (2) 
と表せる。したがって、極板A，Bの電気容量
は、
，S，dを用いて (3) 
と表せる。また、極板A，B間に蓄えられた静電エネルギーは、QとCを用いて (4) 
となる。
問2 次に、極板A，Bと同じ面積Sの正方形金属板Mを用意した。その厚さは
である。この金属板Mには、問1で極板Aに蓄えられた電気量の2倍の電気量
が蓄えられている。図2に示すように、スイッチを閉じたままの状態で極板A，B間の電圧をVに保ち、この金属板Mを極板A，B間に平行にゆっくり挿入した。ここで、極板A，Bと金属板Mは、極板に垂直な方向からみて正確に重なっているものとする。十分時間が経過した後、極板AとBに蓄えられた電気量をそれぞれ
と
とする。ここで
と
は正である。回路が接地されているため
であることに注意して、
と
をQのみを用いて表すと、
(5) 
，
(6) 
となる。また、極板Aと金属板Mの間に生じた電界の大きさは、Cを用いて (7) 
であり、金属板Mを含む極板A，B間に蓄えられた静電エネルギーは、Cを用いて (8) 
となる。その後スイッチ
を開いて、金属板Mを極板Aに向かってゆっくりと距離
だけ平行移動させた。この平行移動に要した仕事はCを用いて (9) 
である。このとき極板Aと金属板Mの間に生じた電界の大きさはCを用いて (10) 
であり、極板Aの電位はVを用いて (11) 
になる。
より、極板
，
の
に等しく、