横市大物理'10年[3]
なめらかに動くピストンをもつシリンダー内に、nモルの単原子分子理想気体が封入されている。この気体の圧力をp，体積をVとして、右のp-V図に示すように、A→B→C→D→Aを1サイクルとする熱機関をつくる。A→BおよびC→Dの過程は定圧変化、B→CおよびD→Aの過程は断熱変化である。状態A，B，C，Dの体積はそれぞれ
，
，
，
であり、状態AとBの圧力は
，状態Cと状態Dの圧力は
である(
)。ここで、気体定数をRとする。また、気体が吸収する熱量は正の値、放出する熱量は負の値とする。このとき、以下の設問に答えよ。
(1) 状態A，B，C，Dの絶対温度
，
，
，
をそれぞれ求めよ。 (2) A→BおよびC→Dの過程において、気体が吸収または放出する熱量
および
をそれぞれ求めよ。 (3) 次に、B→CおよびD→Aの過程について考える。
(a) それぞれの過程において、温度は上昇するか下降するかについて、熱力学第一法則を用いて説明せよ。
(b) それぞれの過程において、気体がする仕事
および
を求めよ。 (4) さらに、A→B→C→D→Aの過程について考える。
(a) この1サイクルの間に気体がする仕事の合計
を求めよ。 (b) この1サイクルに対する熱効率eを求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 断熱変化の基本問題ですが、普通は温度に着目して考えて行くのが、本問では、圧力と体積に着目するので、やりにくい部分があるかも知れません。
∴ 
......[答]状態Bにおける状態方程式：
∴ 
......[答]状態Cにおける状態方程式：
∴ 
......[答]状態Dにおける状態方程式：
∴ 
......[答]
(2) 単原子分子理想気体の定圧モル比熱は
です。A→B，C→Dは定圧変化なので、定圧モル比熱の関係式：
を用いて、 
......[答]
......[答]
(3) 単原子分子理想気体の定積モル比熱は
です。 (a) B→Cの過程では、体積が増大しているので、気体は正の仕事をします。断熱変化なので、気体は熱のやりとりをせず、熱力学第一法則：
において、
，
となり、
(内部エネルギーを参照)です。
より、温度は下降します。 D→Aの過程では、体積が減少しているので、気体は負の仕事をします。熱力学第一法則：
において、
，
となり、
です。
より、温度は上昇します。 (b) 熱力学第一法則より、B→Cの過程では、
∴ 
......[答]熱力学第一法則より、
D→Aの過程では、 ∴ 
......[答]
(4)(a) 1サイクルでは、温度が最初の温度に戻ってくるので、内部エネルギーの変化はゼロです。断熱変化のB→C，D→Aの過程においては、熱のやりとりはないので、1サイクルについて熱力学第一法則より、
∴ 
......[答] 注．定圧変化のA→B，C→Dの過程での仕事
，
を求め、
として求めることもできます。 (b) 熱効率eは、気体がした正味の仕事
を気体が吸収した熱
で割ったものです。 
......[答]注．
を
で割ると当然1になります。熱効率の分母の気体が吸収した熱には、気体が捨てた熱
(
)を含まないように注意してください。 (c) B→Cの過程において、
･･･① 
これを(b)の結果に代入すると、①より、
，
，よって、 
......[答]
を代入すると、
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
物理TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2023(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
」という関係がある(γは定数)。ここで、B→CおよびD→Aの過程に対するγの値は同じである。このとき、
として、上記(b)で求めた熱効率eをxとγで表せ。さらに、
として、xとeの関係の概略をグラフに描け。
･･･②
