地球を周回する物体の運動について考えよう。

赤道上空の円軌道を地球の自転と同じ向きに同じ周期で周回している人工衛星は静止衛星と呼ばれ、地上からは静止して見える。静止衛星は気象観測や放送・通信など様々な目的に利用されているが、地上から宇宙空間へ到達するワイヤーを静止衛星として周回させることができれば、このワイヤーを使って宇宙空間へ人や物資を運ぶことのできる「軌道エレベーター」を実現できる可能性がある。
ここでは、静止衛星が地球を周回する角速度をとおき、地球の質量を

，地球の半径を，万有引力定数を

とする。さらに、地球の中心からの距離に比べると大きさを無視することのできる小さな静止衛星が、地球を周回する円軌道の半径をと表すことにする。
ただし、万有引力については、地球と地球を周回する物体の間にはたらく引力のみを考え、物体同士にはたらく引力は無視する。地球は球形であるとし、太陽や月など地球以外の天体による影響は考えない。また、地球の大気による影響も無視する。

�T．以下の問に答えよ。

問1　の値をラジアン毎秒[rad/s]の単位で求めよ。ただし、有効数字は1桁とせよ。

問2　図1のように、質量mの小さな人工衛星が、静止衛星として地球を周回している。m，M，G，のうち、必要なものを用いてを表せ。

�U．質量mの小さな人工衛星をとは異なる半径の円軌道上で運動させると、この人工衛星の運動は、地上から静止して見える静止衛星としての条件を満たさない。しかし、図2に示すように、鉛直で下端が赤道上の地表面に固定されたワイヤーを、この人工衛星に接続して適切な初速度を与えれば、よりも大きな半径の円軌道上であっても、人工衛星を静止衛星として運動させることができる。

問3　図2において、ワイヤーにはたらいている張力の大きさを，，m，M，G，のうち、必要なものを用いて表せ。

問4　図3に示すように、ワイヤー上の半径 ()の位置に質量をもつ小物体をとりつけた。このとき、ワイヤーと人工衛星は地上から見て静止したままであった。このあと、静かに小物体をワイヤーから切り離すと、小物体はワイヤーとは独立に運動し地球から無限遠へと遠ざかった。小物体を、地球を周回する軌道から離脱させ、再び地球へ接近させないために必要な最小のを，，m，，M，G，のうち、必要なものを用いて表せ。

�V．次に、ワイヤーが質量をもつ場合を考えよう。図4上に示すように、赤道上の地表面から単位長さあたりλの質量をもつワイヤーが、上空へ向かって伸びている。�Uでの状況と異なり、ワイヤーは地表面に固定されおらず、ワイヤーの上端に人工衛星は取り付けられていない。このワイヤーは、鉛直を保ったまま伸び縮みすることなく地球の周りを周回しており、ワイヤーの上端は半径の円軌道上を運動しているが、地上から見ると静止している。

図4(i)に示すように、ワイヤーを等しい長さをもつN個の要素に分割して考えよう。Nを十分に大きくしてを小さくすれば、それぞれの要素を、その重心に質量が集中した質点とみなすことができる。このとき、ワイヤー全体は、図4(ii)に示すように、長さの質量の無視できる短いひもでつながれた、N個の質点の集合となる。地表面から数えてi番目の質点は半径の円軌道上を運動する。

地表面から数えてi番目の質点が、ひもから鉛直上向きに受ける張力の大きさを，鉛直下向きに受ける張力の大きさをとする。

のようにとの差をとおき、質点の質量をとする。質点の運動方程式を考えると、はG，M，，，を用いて

　(a)　

と表せる。また、をλとを用いて表せば

　(b)　

となる。Nが十分に大きいときにに対して成り立つ近似式

を用いれば、すべての質点に対するの和Fは、λ，G，M，，，を用いて

　(c)　

と表すことができる。一方、0番目と番目の質点が存在しないことを考えると、であるので、Fは

　(d)　

問6　をと問2で考えたを用いて表せ。ただし、であることに留意せよ。

また、の値に最も近いものを以下の選択肢から選び、(あ)〜(こ)の記号で答えよ。ここでは、と近似してよい。

の正弦波の交流で送電する。ただし、とする。消費地での電圧の最大値を

とする。なお、やの時間平均はであることを用いてよい。以下の問に答えよ。

問1　消費地での時刻t での電圧をとする場合、時刻t に消費地で消費する電力を、V，r，ω，t を用いて表せ。

問2　図2の消費地の抵抗を流れる電流の最大値を、rを用いずに、Vと、消費地での消費電力の時間平均消費電力を用いて求めよ。

問3　図2のコンデンサーを流れる電流の最大値を、ω，C，Vを用いて求めよ。

問4　図2の消費地の抵抗を流れる電流とコンデンサーを流れる電流の位相は、図3のように異なっている。これらを合成した電流が送電線を流れる。送電線を流れる電流の最大値を、ω，C，V，を用いて求めよ。

問5　2本の送電線全体で消費する時間平均消費電力を、ω，C，V，，Rを用いて求めよ。

問6　とωとCを固定した場合に、送電線で消費する時間平均消費電力を最小にするVの値と、そのときのを、ω，C，，Rのうち、必要なものを用いて表せ。ただし、相加相乗平均の不等式を用いてもよい。

A．　空気が入ったゴム風船(図1左)は、外からはたらく圧力や、温度に応じて、大きさが変わる。このふるまいを、以下のように単純化したモデルで考えよう。

図1右のように断面積Sの固定されたシリンダー内に、なめらかに動くピストンがある。シリンダーの底面の位置を原点として、ピストンの位置をx ()とする。ピストンはシリンダーの底面とばねでつながれている。このばねは風船のゴムを模した仮想的なもので、その体積は無視できる。また、ばね定数はk ()であり、ピストンは、このばねから大きさの力をx軸の負の向きに受ける。以下、ピストンとシリンダーとばねを合わせたものを、装置とよぶ。シリンダーにはnモルの単原子分子理想気体が入っており、シリンダーの外部は真空である。このピストンに対し、外力Fを作用させる。ただし、外力は図の矢印の向きを正とし、正負どちら向きにもかけられる。Fが負の場合、Fは大気中に置かれた風船に大気が外から及ぼす力を模している。また、気体と装置からなる系全体は常に一様な温度であり、その温度Tは変化させることができる。ただし、装置の熱容量は無視できる。以下ではすべての操作を十分にゆっくりと行う。また気体定数をRとする。以下の問に答えよ。

問1　温度Tからに微小に変化させたとき、気体に流入する熱量を求めよ。

�U．次に、ピストンを固定せずに自由に動けるようにした場合を考える。ただし、外力は作用させず、とする。

問3　温度をTからに微小変化させたとき、気体とばねからなる系全体に流入する熱量を求めよ。また、この結果を用いて、系全体の熱容量Cを求めよ。

�V．さらに、ピストンを自由に動けるようにしたまま、外力Fを作用させる場合を考える。必要ならば、が1より十分に小さいとき、aを正の実数として，Xが1より十分に大きいとき、と近似できることを用いよ。

問5　問4の結果を図示しよう。でのxをとし、とする。これらを用いてをだけの関数として表せ。次に、横軸を，縦軸をとして、その概形を解答用紙のグラフに図示せよ。

問6　温度Tを一定に保ったまま、外力をFからまで微小に変化させたとき、ピストンの位置がxからまで微小に変化した。このとき、は気体とばねからなる系の、実効的なばね定数とみなせる。なお、は1よりも十分に小さく、の2次の項は無視してよい。

以下の場合について、比を求めよ。
(a) が限りなく大きい場合
(b) の場合

B．図2のように、電気的に中性の粒子Aと、それと比較して十分に軽い質量Mの荷電粒子Bがあり、それらの間に、ある引力がはたらいている物理系を考える。この引力によって、荷電粒子Bは中性粒子Aの周りを半径r，速さvで等速円運動しているとする。その引力の大きさFは、互いの距離に比例し

　()

　(a)　

　(b)　

と与えられることから、荷電粒子Bの運動エネルギーKも求まる。よって、この荷電粒子Bの力学的エネルギーは、kとrを用いて

　(c)　

と表すことができる。
ド・ブロイによると、ミクロな世界では、粒子には波としての性質が現れ、その波長は粒子の運動量の大きさの逆数に比例する。今考えている物理系が原子と同程度に小さいとすると、荷電粒子Bにも波としての性質が現れてくる。この波の波長は、プランク定数をhとおくと、M，k，h，rを用いて

　(d)　

で与えられる。
さて、ボーアの水素原子の理論の場合にならって、この物理系に量子条件と振動数条件を課すことを考えよう。
まず、次の量子条件を課す。
「荷電粒子Bの軌道の一周の長さが、波長の自然数倍(n倍)である場合にのみ、定常状態(定常波)が実現する」
この場合に、許される軌道の半径は、nに対応した、とびとびの値をとる。これをとして、M，k，h，nを用いて表すと、

　(e)　　()

となる。結局、n番目の軌道を回る荷電粒子Bのもつ全エネルギーは、M，k，h，nを用いて、

　(f)　　()

と与えられる。
さらに、この物理系において、次の振動数条件を課すとしよう。
「荷電粒子Bが番目の定常状態から、エネルギーがより低いn番目の定常状態に移る時に、光子1個が放出される」
この場合に、とnの2つの定常状態の間のエネルギー差は、M，k，h，n，を用いて、

　(g)　　()

となるから、真空中での光の速さをcとすると、放出される光の波長は、M，k，n，，cを用いて

　(h)　　()

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