インピーダンス

抵抗Rと、自己インダクタンスLコイルと、静電容量Cコンデンサーが直列に接続された回路に、角周波数w交流を流すときのインピーダンスZは、
このときの、電流電圧位相のずれdは、電圧の方がdだけ進んでいるとして、

右図のように、交流電源に、抵抗R自己インダクタンスLのコイル、静電容量Cのコンデンサーを直列に接続した回路を考えます。この回路をRLC直列回路と言います。
直列接続なので回路を流れる
電流Iは共通です。この電流を、だとします。
抵抗両端の
電圧は、オームの法則より、
コイル両端の電圧は、
コンデンサー両端の電圧として、公式:より、
とおくと、
よって、
 (容量リアクタンスを参照)
これより、交流電源の電圧Vは、


 (三角関数の合成を参照)
とおくと、dは、を満たす角。
これより、
電圧Vの実効値は、電流の実効値をとして、
と表され、オームの法則のような関係が成立します。Z抵抗のような役割をするのですが、これを、RLC回路のインピーダンスと言います。また、d電圧電流位相のずれと言い、
を満たします。

実は、
複素インピーダンスという便利な考え方があります(詳細は、RLC回路の線形2階微分方程式での取扱いを参照)
回路を流れる
電流複素数として考え、
として、という複素数をかけると、

として、電流電圧の実部、虚部を比べることにより、電流電圧の関係を調べることができます。複素インピーダンスと言います。
複素インピーダンスの良いところは、複素インピーダンスを直流におけるオームの法則における抵抗と全く同じようにして、交流を扱えるところにあります。
抵抗R複素インピーダンスRのままです。
自己インダクタンスLのコイルの複素インピーダンスは、です。
静電容量Cのコンデンサーの複素インピーダンスは、です。
は、RLCインピーダンスを、抵抗直列接続のように、3つ加え合わせた合成インピーダンスになっています。

複素数の電流複素インピーダンスをかけて電圧を求めるということは、右図のように、複素数平面上で、電流を回転・拡大縮小したものが電圧になるということ(極形式を参照)を意味していて、高校物理で言うインピーダンスは、回転縮小の比率を、電圧が電流より進んでいるとしたときの位相のずれdは、複素インピーダンスの偏角を表しています。

RLC並列回路であれば、合成インピーダンスとして、
として、抵抗並列接続のように合成インピーダンスを求めることができます。
虚数単位
'i'と書くと、電流を示す'i'と勘違いしやすいので、電気回路の本では、虚数単位を文字'j'で表すことがあります。


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