RLC回路の線形2階微分方程式での取扱い

右図のようなRLC直列回路、つまり、交流電源に、抵抗R自己インダクタンスLコイル静電容量Cコンデンサーを直列に接続した回路を、線形2階微分方程式で取り扱って見ます。
ここでは、
RLCはいずれも正数値をとりゼロではないとします。
抵抗、コイル、コンデンサーにおける
電圧降下は、なので、キルヒホッフ第2法則より、これらの総和を交流電源の起電力Vに等しいとおいて、
より、両辺を時間tで微分すると、
 ・・・@
のとき、@に、を代入すると、


但し、
これより、,つまり、として、
@の解は、
で与えられます。

ここで、@式の
電圧と電流を極形式で、
 (オイラーの公式:については、マクローリン展開を参照)
としてみます。
これを@に代入して、
両辺をで割って、
これより、として、
両辺の絶対値について、
両辺の偏角について、
RLC直列回路を見ただけですが、これが、複素インピーダンスZを考える理由です。


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