ケプラーの法則 関連問題
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太陽のまわりを回る惑星の運動について、以下が成り立つ。
ケプラーの第1法則：惑星は太陽を焦点の一つとする楕円軌道を描いて運動する。
ケプラーの第2法則(面積速度保存の法則)：惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間あたりにに描く面積(面積速度)は一定である。
ケプラーの第3法則：惑星の公転周期の2乗は楕円軌道の長半径の3乗に比例する。
17世紀初頭に活躍した占星術師ケプラーが、師ティコ・ブラーエから託された膨大な観測資料を基に20年をかけて発見した法則。この法則の発見により、コペルニクスの地動説は揺るぎないものとなりました。
ケプラーの法則は、太陽の回りを周回する惑星だけでなく、地球の周囲を回る人工衛星などについても成り立ちます。
この法則は、ニュートンの万有引力の法則から証明されています。
太陽の位置を原点Oとする、平面座標、極座標を考え、惑星Pの位置ベクトルを
とします。
，動径OPのx軸から測った回転角をθとすると、
惑星Pの速度ベクトル
は、
惑星Pの加速度ベクトル
は、
は動径
の方向を向くベクトル、
は動径
と垂直な方向を向くベクトルです。
これより、惑星Pの加速度の動径方向成分は、
，
惑星と太陽の間に働く万有引力は中心力(
と平行な方向を向く)なので、加速度の動径と垂直な方向の成分は0です。
これより、
従って、
は一定になります。この一定値を
･･･② とおきます。
は、惑星Pの面積速度なので、惑星の運動では、面積速度が一定になり、ケプラーの第2法則が成り立ちます。
太陽の質量をM，惑星の質量をm，万有引力定数をGとして、惑星Pは、
と逆向きの万有引力
を受けて運動しますが、動径方向について運動方程式は、
よって、
･･･③
惑星の運動の軌跡を考えるために、rとθの関係を調べます。tに関する微分をθに関する微分に直します。②を用いて、
ここで、
とおくと、
また、②を用いて、
，これらを、③に代入すると、
これは、単振動の公式：
と同じ形をしています。単振動の時は、
の形になります。これより、
なので、
これは、離心率：
である2次曲線の方程式です。
とすると、
のときにr最小、つまり惑星Pが近日点に来るとすれば、
･･･③
であれば、楕円
であれば、放物線
であれば、双曲線
になります。惑星の場合には、太陽の回りを周回するので楕円になります。こうしてケプラーの第1法則が示せました。
③において、
のとき近日点で、
(
とします)
のとき遠日点で、
(
とします)
楕円の長径は
，長半径aはこの
で
楕円の中心と焦点との距離cは、
短半径bは、公式
より、
∴ 
，惑星の公転周期Tは、楕円の面積を面積速度
で割って、
公転周期Tの2乗を長半径aの3乗で割ると、
，
より、
∴ 
これで、ケプラーの第3法則が導けました。
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