京大物理'03年前期[1]

京大物理'03年前期[1]

次の文を読んで、　　に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　は、すでに　　で与えられたものと同じものを表す。また、下線部に関して、単振動が生じる理由を解答欄(A)に記入せよ。

重力加速度の2倍まで加速が可能なエレベーターを想定する。以下では、すべて、エレベーターに固定された観測者から見た運動を考え、空気による抵抗は無視する。なお、必要であれば

を利用せよ。
エレベーターが静止している状態で、床に固定された質量の無視できるばね(ばね定数k)の上に、厚さの無視できる質量Mの台Pを固定し、その上に大きさの無視できる質量mの物体Qを静かに置いたとき、台Pは図1のように天井からHの距離で静止した。重力加速度をgとしたとき、ばねは自然長から　イ　縮んでいる。
この状態でエレベーターが図2のように上昇を始めたとき、台Pと物体Qは自然長から　ロ　縮んだ位置を中心として単振動を始めた。この直後、観測者は台Pと物体Qをつかんで、つりあいの位置すなわち単振動の中心位置にPとQを静止させた。
次に、図2で速度が一定になる時刻

の後のPとQの運動について考える。時刻

の後、PとQは再び運動を始める。運動開始後の鉛直上向きの加速度をβ，PQ間に働く垂直抗力をNとする。ばねが自然長からx縮んでいるとき、Pの運動方程式は　ハ　，Qの運動方程式は　ニ　となる。β を消去することで、垂直抗力は　ホ　となり、

の場合にはQが台Pから離れ、その位置は、ばねの自然長位置である。そのときのQの速度(鉛直上向きを正とする)は、エネルギー保存則

×　ロ　＝　ヘ　

から

となる。台Pから離れた後、Qがエレベーターの天井に衝突しない条件はH >　ト　である。
この条件を満たすとき、PとQが離れた後のそれぞれの運動の概略は図3のようになる。Qの台Pと衝突するまでの時間とその位置に関し、

，

の場合について次のように考察した。
台PはQを放出した後、周期　チ　の単振動となり、その振動の中心はばねの自然長先端から　リ　下がった位置にある。また、台Pはばねの自然長からさらに　ヌ　伸びた位置で最高点に達する。このことから、台PがQを放出した位置から再びその位置に戻って来るのに要する時間は　ル　である。一方、Qが台Pから離れた瞬間の位置から再びその位置に戻ってくるのに要する時間は　ヲ　であることから、Qが台Pに到達するのはこれ以降となる。

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