京都大学2011年物理入試問題

[1]
 次の文を読んで、  に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。また、問1,問2については、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

1に示すように、十分広いフロントガラス面上を面に沿って回転せずに水平方向(1の矢印⇒の方向)に移動する質量Mのワイパーに関して、以下の問いに答えよ。
フロントガラスは平面で、水平面と角度
β をなすものとする。ワイパーは、重力に加えてフロントガラス面に対して垂直方向にの力を受け、フロントガラス面に押しつけられている。ワイパーは、時刻0に位置Aにおける静止状態から矢印⇒の方向に動き始め、時間とともに速度を増し、時刻において速度となった後、一定速度で運動を続ける。時刻より速度を減じ、しばらくして停止する。ワイパーとフロントガラスとの間の静止摩擦係数および動摩擦係数をそれぞれμ (),重力の加速度をgとし、水膜の有無による摩擦係数の違いおよび空気の抵抗は無いものとする。

(1) まず、水膜がない状況でワイパーを動かした場合について考える。
(11) 時刻0からの間にワイパーに一定の力を水平方向(1の矢印⇒の方向)に加えたところ、時刻0からの間にワイパーの速度は0からまで増加した。このとき、ワイパーの加速度は ア となり、加えた力は イ で与えられる。時刻0からの間にワイパーを動かすのに要した仕事は ウ となる。ワイパーの速度は時刻に達し、その後からの間は一定値となるように力が加えられる。時刻からワイパーに加えていた水平方向の力を0としたところ、ワイパーは距離 エ 進み、時刻 オ に停止した。
(12) 時刻0からと時刻からの間で、それぞれ一定の加速度が得られるように、ワイパーに種々の水平方向の力を加えた。その結果、図2の折線abcdの動きは実現したが、時刻における速度がより小なる動きは実現しなかった。
1 折線dの時刻0からの間の傾きが満たすべき条件を、その導出過程とともに示せ。
2 時刻にて速度が実現する図2の運動abcdの中で、時刻0からまでに水平方向の力のワイパーにする仕事が最小となる運動を選ぶとともに、最小となる理由を記せ。

(2) 次に、フロントガラス面上に降雨があり、雨が止んだ後にフロントガラス面上に一様な厚さの水膜が形成された場合について考える。
水膜の厚さは薄く、重力により落下しないものとする。ワイパーは位置Aから動き始め、図2の直線cに従い、通過した領域の雨水を全て集めながら水平方向(1の矢印⇒の方向)に進む。ワイパーにより集められた雨水はワイパーと一体となって動き、付着した雨水の質量だけワイパーの質量が増加した状態と同じとみなされるものとする。ワイパーが単位長さ進むと、ワイパーには質量nの雨水が付着する。また、ワイパーに付着していない水膜は静止しており、ワイパーの運動に影響を与えないものとする。
時刻
0からt ()の間にワイパーが通過する距離をsとすると、ワイパーが集める雨水の質量はとなるので、時刻tにおいてワイパーに加えるべき水平方向の力は カ となる。
時刻からまでは一定速度で運動する。このとき、時刻
t ()において加えるべき水平方向の力を求める。時刻tにおけるワイパーと雨水を合わせた質量と速度は、時刻における付着水量をで表すと、それぞれおよびとなり、時間後の時刻におけるワイパーと雨水を合わせた運動量の増加は、 キ ×となる。ワイパーに作用する水平方向の合力は キ で一定となり、時刻tにおいて加えるべき水平方向の力は ク となる。
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[2] 次の文を読んで、  に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。また、問1では指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。

1のように長方形の導線ABCDからなるコイル1と、正方形の導線EFGHからなるコイル2xy平面内に置かれている。コイル2の中心は原点Oにあり、導線FGEHx軸に平行、導線EFGHy軸に平行な直線で、長さはいずれもである。コイル2の電気抵抗はRである。コイル1の中心はx軸上の位置にあり、導線ABCDの間隔はでそれぞれy軸に平行な直線である。2つのコイルは重ならない()とする。コイル1の導線ABCDの長さは、コイル1の幅やコイル2の一辺,および、コイル1とコイル2の中心間の距離Lに比べて十分大きい。したがって、x軸の近くでは、導線ADBCに流れる電流がつくる磁界(磁場)の強さは、導線ABCDに流れる電流がつくる磁界に比べて十分小さく、無視できる。また、x軸の近くでは、導線ABCDに流れる電流がつくる磁界は、無限に長い直線電流がつくる磁界とすることができる。これらのコイルは真空中に置かれており、真空の透磁率をとする。

(1) まず、コイル1ADCBの向きに電流を流したときにできる磁界について考えよう。導線ABに流れる電流x軸の近くの位置 (ただし、を除く)につくる磁界は、紙面に垂直に裏から表に向かう向きを正として、 イ である。x軸の近くの位置 (ただし、を除く)にコイル1がつくる磁界は、導線ABCDの寄与を加えて ロ となる。

(2) コイル1に流れる電流がつくる磁界のもとで、中心が原点にあるコイル2を貫く磁束について考えよう。ただし、以下では、はコイル2の一辺に比べて十分大きいとし、に比べて十分小さいような原点付近の位置における磁界を考える。ここで、実数ε の絶対値が1に比べて十分小さいときに成立する近似式を用いると、コイル1ADCBの向きに電流を流したとき、導線ABに流れる電流がつくる磁界 イ は、xy平面内の原点付近の位置では、紙面に垂直に裏から表に向かう向きを正として、 ハ と近似できる。この近似を導線CDにも適用すると、コイル1に流れる電流がxy平面内の原点付近につくる磁界は ニ のようにx1次関数で近似できる。以下でも、bに比べて十分小さく、近似式 ニ が成立する範囲内で考える。このとき、コイル2を貫く磁束は、コイル2の中心での磁束密度に、コイル2の面積を乗じた値として計算できるので、 ホ となる。コイル1に流れる電流が時間変化するとき、コイル2に誘導起電力が発生する。このとき、コイル1とコイル2からなる回路の相互インダクタンスは ヘ となる。

(3) 次に、コイル1ADCBの向きに流す電流は一定とし、正方形コイル2x軸に沿って正の向きに一定の速さvで移動させる場合を考えよう。時刻tにおけるコイル2の中心のx座標をとする。コイル2の運動は原点付近に限り、2つのコイルは重ならず、また、(2)と同様に、bに比べて十分小さく、近似式 ニ が成立するものとする。時刻tにおいて、コイル2を貫く磁束は ト となる。コイル2の電気抵抗の値はRであるから、コイル2に生じる誘導起電力によりコイル2に流れる電流は、EFGHの向きを正として チ となる。ただし、コイル2の自己インダクタンスは無視できるとする。このとき、単位時間当たりにコイル2に発生するジュール熱は リ となる。

1 時刻tにおいて、コイル1に流れる電流のつくる磁界からコイル2全体が受ける力の大きさと向きを、導出の過程も示して求めよ。
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[3] 次の文を読んで、  に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1,問2については、指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。

断面積
Sの十分に長い両端が開口しているシリンダーを考える。図1のように、シリンダーの片方は質量mのピストンでふさがれており、もう一方は栓を用いて中の気体を封じ込めることができる。この栓とシリンダーの間の最大摩擦力の大きさはFである。シリンダー、栓、ピストンは、いずれも断熱材でできており、これらは熱を通さない。シリンダーの内部には、温度制御装置が組み込まれており、中の気体を加熱または冷却することができる。シリンダー、栓、ピストン、温度制御装置の熱容量は無視できるものとし、温度制御装置の体積は十分に小さく、ピストンの運動を妨げないものとする。また、ピストンとシリンダーの間の摩擦は無視できるものとする。
いま、このシリンダー、栓、ピストンからなる容器の中に
1molの単原子分子からなる理想気体が封入されている。以下、外気の圧力を,気体定数をRとする。

(11) 初期状態(状態A)では、容器内部の気体の温度は,圧力は外気と同じであった。この状態Aからピストンの位置を固定したまま、温度制御装置で中の気体を加熱していったところ、ある温度で栓が動き始めた。この動き出す直前の状態をBとする。そのときの温度は あ であり、状態Aから状態Bに変化させるために要した熱量は い である。

(12) 再び状態Aに戻し、容器内の圧力が常にとなるようにピストンの位置を調節しながら温度制御装置で熱を加えたところ、容器内の気体の体積が8倍になった(状態C)。状態Aから状態Cまでの気体の内部エネルギーの変化量は う であり、温度制御装置が与えた熱量は え である。

以下では、必要ならば、「単原子分子からなる理想気体の断熱変化では、は一定である」ことを用いよ。

(13) 再び状態Aに戻し、今度は温度制御装置は使わず、断熱した状態でピストンを十分にゆっくりと動かし、気体を体積が8倍になるまで膨張させたところ、栓はまだ静止したままの状態であった。この状態をDとすると、その温度は お であり、AからDへの変化で、容器の中の気体が外にした仕事は か である。また、栓が動かなかったことから、最大摩擦力F き より大きいことがわかった。

1 容器に封入した理想気体を、状態ACDAの順で十分にゆっくりと変化させる熱機関を考える。ただし、ACCDDAのプロセスは、それぞれ定圧変化、定積変化、断熱変化である。この熱機関1サイクルの状態の変化を、横軸を体積、縦軸を圧力として図示せよ。また、この熱機関の熱効率を導出の過程とともに示し、有効数字2けたで求めよ。

(2) 再び状態Aに戻し、次に温度制御装置を切ったままピストンを静止位置から少し動かして放すと、栓は動かないままピストンは振動を始めた。このとき、ある時刻における圧力をp,ピストンの加速度をaとすると、ピストンの運動方程式は、 く となる。ただし、ピストンの加速度は内部の気体が膨張する向きを正とせよ。ここで、振動中において、容器中の気体の圧力と温度は各瞬間で一様であるとみなせるものとする。

2 (2)においてピストンの状態Aの位置からの変位は十分に小さく、振動は単振動であると仮定して振動周期を求めよ。ただし、導出の過程も示せ。ここで必要ならば、絶対値が十分小さな実数ε ()に対し、と近似できることを用いてよい。ただし、αは任意の実数である。
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各問検討

[1](解答はこちら) 力学の基本問題のようですが、問題文の意図が曖昧で、(1)の問1など、どう答えてよいのかわからない点のある受験生泣かせの問題です。解答するための条件が読み取れない場合は、勇気を出して試験監督に聞いてみる、ということが必要かも知れません。
想像するに、出題者はもともと、
東大2008[3]などを意識して、微積分を意識した問題を出題したかったのが、難し過ぎる、という非難を浴びて問題が改作され、妥協に次ぐ妥協の末に本問に落ち着いたのですが、問題の原型は完全に失われて、意味不明の問題になってしまった、というようなことではないかと思います。原則的に、制限時間内に解ききれるように、という制約のもとに入試問題は作問されているはずなので、こうしたことが起こり得ます。出題意図や作問過程は情報公開されていないので、問題の意図がつかめない、という状況が起こりうる、ということを、受験生は想定しておく必要があります。
本来、微分方程式を解いて解決するような問題を、高校の範囲内の数学の知識を使って物理的な検討を加えながら解く、というタイプの入試問題は、例えば、線形
1階微分方程式を解いて解決する程度の定型的な問題(雨粒が速度に比例する抵抗力を受けて終端速度に達する問題、抵抗を含むコンデンサーやコイルの過渡現象の問題、コの字型回路を運動する導体棒の問題など)で良いのではないか、と、思います。本年の東工大前期[2]などよく工夫されていると思います。入試問題では、問題のオリジナリティーよりも、勉強している受験生が確実に解けて、勉強不足の受験生が確実に解けない問題、を目指して欲しいと思います。




[2](解答はこちら) 本問は、最後はコイルを移動させる力の仕事が回路に発生するジュール熱に等しいことを考えるので、結局、頻出タイプの磁気の基本問題ですが、途中で、近似が出てきたり、なじみの薄い直線電流の作る磁界や相互誘導が出てきたりするので、意外と得点しにくい問題です。
難関大学を目指す高校生は、さしあたって本問のような問題を完全理解するレベルを目指してください。特殊な受験技巧も必要なく、教科書の記述が完全理解できていれば満点も充分に可能な問題です。逆の言い方をすると、本問がスラスラと解けないようでいて、難解で技巧的な問題を試してみても無意味なのです。自然現象は、物理法則に基づいて起こります。受験技巧に従って起こるのではありません。物理法則から離れてしまうのであれば、「物理学」ではないのです。まずは、教科書の物理法則の記述をしっかり習得するところから受験準備をスタートさせるようにしてください。また、本ウェブサイトに掲載されている問題や問題集の問題を解いていて、行き詰まるようなときには、必ず、教科書の基礎事項に戻って考え直すようにしましょう。
また、本問では、誘導電流や磁界の向きにも注意が必要です。途中の符号のミスが連鎖反応的に大きな失点につながってしまうので、電流や磁界の絶対値だけでなく、向きにも神経を使うようにしてください。




[3](解答はこちら) 単振動がからむ気体の総合問題ですが、前半は基本問題、(2)で空気バネの単振動を扱います。難しそうに見えますが、しばしば難関大の入試問題で見られるテーマです。本問は、断熱変化での単振動ですが、ポアッソンの関係式に問題文中の近似公式を適用すれば、単振動の運動方程式が得られます。なお、東大'96年前期[3]で、断熱変化と等温変化とで単振動の周期を比較する問題が出題されています。本問問2の解答のは、「は一定である」のの逆数になっていることに注意すれば、比熱比をとして、断熱変化での周期は等温変化での周期の倍になることがわかります。
1で熱効率を求めますが、熱効率は、気体がした仕事を、吸熱時に吸収した熱で割ったものです。気体がした仕事には、された仕事も含めますが、吸熱時に吸収した熱には排熱は含めないことに注意してください。断熱変化では、気体は熱のやりとりをしません。各状態を出発点として断熱変化のp-V図を描き、それよりも右上に移るときは吸熱、左下に移るときには排熱と判断します。本問では、ACの変化が吸熱の変化です。



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