京大物理'11年[2]

京大物理'11年[2]

次の文を読んで、　　に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　はすでに　　で与えられたものと同じものを表す。また、問1では指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。

図1のように長方形の導線ABCDからなるコイル1と、正方形の導線EFGHからなるコイル2がxy平面内に置かれている。コイル2の中心は原点Oにあり、導線FGとEHはx軸に平行、導線EFとGHはy軸に平行な直線で、長さはいずれも

である。コイル2の電気抵抗はRである。コイル1の中心はx軸上の位置

にあり、導線ABとCDの間隔は

でそれぞれ

と

のy軸に平行な直線である。2つのコイルは重ならない(

)とする。コイル1の導線ABとCDの長さは、コイル1の幅

やコイル2の一辺

，および、コイル1とコイル2の中心間の距離Lに比べて十分大きい。したがって、x軸の近くでは、導線ADとBCに流れる電流がつくる磁界(磁場)の強さは、導線ABやCDに流れる電流がつくる磁界に比べて十分小さく、無視できる。また、x軸の近くでは、導線ABやCDに流れる電流がつくる磁界は、無限に長い直線電流がつくる磁界とすることができる。これらのコイルは真空中に置かれており、真空の透磁率を

とする。

(1) まず、コイル1のADCBの向きに電流

を流したときにできる磁界について考えよう。導線ABに流れる電流

がx軸の近くの位置

(ただし、

を除く)につくる磁界は、紙面に垂直に裏から表に向かう向きを正として、　イ　である。x軸の近くの位置

(ただし、

を除く)にコイル1がつくる磁界は、導線ABとCDの寄与を加えて　ロ　となる。

(2) コイル1に流れる電流がつくる磁界のもとで、中心が原点にあるコイル2を貫く磁束について考えよう。ただし、以下では、

はコイル2の一辺

に比べて十分大きいとし、

や

が

に比べて十分小さいような原点付近の位置

における磁界を考える。ここで、実数ε の絶対値が1に比べて十分小さいときに成立する近似式

を用いると、コイル1のADCBの向きに電流

を流したとき、導線ABに流れる電流がつくる磁界　イ　は、xy平面内の原点付近の位置

では、紙面に垂直に裏から表に向かう向きを正として、　ハ　と近似できる。この近似を導線CDにも適用すると、コイル1に流れる電流がxy平面内の原点付近につくる磁界は　ニ　のようにxの1次関数で近似できる。以下でも、bや

は

に比べて十分小さく、近似式　ニ　が成立する範囲内で考える。このとき、コイル2を貫く磁束は、コイル2の中心での磁束密度に、コイル2の面積を乗じた値として計算できるので、　ホ　となる。コイル1に流れる電流が時間変化するとき、コイル2に誘導起電力が発生する。このとき、コイル1とコイル2からなる回路の相互インダクタンスは　ヘ　となる。

(3) 次に、コイル1のADCBの向きに流す電流

は一定とし、正方形コイル2をx軸に沿って正の向きに一定の速さvで移動させる場合を考えよう。時刻tにおけるコイル2の中心のx座標を

とする。コイル2の運動は原点付近に限り、2つのコイルは重ならず、また、(2)と同様に、bや

は

に比べて十分小さく、近似式　ニ　が成立するものとする。時刻tにおいて、コイル2を貫く磁束は　ト　となる。コイル2の電気抵抗の値はRであるから、コイル2に生じる誘導起電力によりコイル2に流れる電流は、EFGHの向きを正として　チ　となる。ただし、コイル2の自己インダクタンスは無視できるとする。このとき、単位時間当たりにコイル2に発生するジュール熱は　リ　となる。

問1　時刻tにおいて、コイル1に流れる電流のつくる磁界からコイル2全体が受ける力の大きさと向きを、導出の過程も示して求めよ。

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解答　相互インダクタンスを求めるのでやや目新しいですが、問題そのものは基本的です。

(1)(イ) 導線ABを流れる電流が位置

に作る磁界は、右ねじの法則より、

のとき紙面に垂直に裏から表に向かう向きで、位置

と導線ABとの距離が

であることから、

......[答]　(電流のつくる磁界を参照)

(ロ) 導線CDを流れる電流が位置

に作る磁界は、右ねじの法則より、

のとき紙面に垂直に表から裏に向かう向きで、位置

と導線CDとの距離が

であることから、

(

)

導線ABと導線CDの寄与を加えて、位置

にコイル1がつくる磁界は、

......[答]

(2)(ハ) 微小量εを

と見て問題文の近似式を使うと、導線ABを流れる電流が原点付近の位置

に作る磁界は、

......[答]

(ニ) (ハ)と同様にして、導線CDに流れる電流が原点付近の位置

に作る磁界は、

導線ABと導線CDの寄与を加えて、コイル1が原点付近の位置

に作る磁界は、

......[答]

(ホ) コイル2の中心での磁界は、(ニ)の結果で

として

，磁束密度は

，コイル2の面積は

，よって、コイル2を貫く磁束は、

......[答]

(ヘ) (ホ)の結果を用いると、時間

の間に電流

が

変化したときにコイル2に発生する起電力の大きさVは、電磁誘導の法則より、

∴

......[答]

(3)(ト) (ニ)の結果で

として、コイル1が原点付近の位置

に作る磁界は、

(ホ)と同様にして、コイル2を貫く磁束

は、

......[答]

(チ) コイル2を貫く磁界は、導線ABが導線CDよりもコイル2の近くにあるので、導線ABの影響を受けて導線ABがコイル2の中心に作る磁界の向き、つまり正の向きとなり、コイル2がx軸正方向に移動すると、コイル2を貫く磁束は増加するので、負の向きの磁界を作る向き(レンツの法則を参照)、つまり、EHGFの向きに誘導電流を流す向きに誘導起電力が発生します。EFGHの向きの電流を正としているので、誘導電流の向きは負です。

コイル2に発生する起電力の大きさVは、電磁誘導の法則より、