京都大学2013年物理入試問題

[1]
 次の文章を読んで、  に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じ式を表す。また、問1,問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

以下の設問では、地球は半径
Rの球であり、密度は一様に分布していると考えてよい。また、地球の質量をM,万有引力定数をGとし、地球の自転の影響、摩擦、および空気の抵抗は無いものとする。

(1) 1のように、地球の中心Oを通って直線状に掘られたトンネルを考える。トンネルは十分に細く、トンネルを掘ったことによる質量の変化は無視できるものとする。トンネル内の任意の1P ()で質量mの質点に働く重力は、Oを中心とした半径rの球の質量が中心Oに集まったとして、それと質点との間の万有引力に等しく、半径rの球の外側の部分は、この点での重力には無関係であることが知られている。したがって、トンネル内の1Pにおいて質点に働く重力の大きさは、mMRrGを使って ア と表すことができる。この力による質点の運動は単振動であり、その周期は イ で与えられる。

(2) 次に、図2のように、トンネルを通る直線に沿って、地表からの高さがhの点に質量μの質点Aを静かに置き、静止した状態からトンネルに落下させ、中心Oに静止している質量mの質点Bに衝突させる。質点Aがトンネルに入る瞬間の速さは ウ で、中心Oに到達する直前の速さは エ である。衝突は弾性衝突であるとすると、衝突直後の質点Aの速さは オ ,質点Bの速さは カ となる。衝突後、質点Bは反対側の地表に達した。
1 とした場合に、この後質点Bが無限の遠方に飛び去るために必要なの値の範囲を求めよ。導出の過程もあわせて示せ。

(3) 今度は、図3のように、地球の中心Oからだけ離れたところを通る直線状の細いトンネルを掘った。中心Oからの距離がrで、トンネルの中心からxだけ離れたトンネル内のP点にある質量mの質点に働く重力の大きさは ア なので、その質点に働くトンネルに沿った方向の力の大きさは、mMRxGを使って キ で与えられる。したがって、地表で静止した状態からトンネルを通って反対側の地表に出るまでにかかる時間は ク である。

(4) 次に、図4のように、質量μの質点Aをトンネルの端点に静かに置き、静止した状態からトンネルに落とし、トンネルの中心に静止している質量mの質点Bに衝突させた。衝突は弾性衝突であるとすると、質点Bが反対側の地表に達するための条件は ケ で与えられる。また、質点Bが地表から飛び出した後、再び地表にもどってくるための条件は コ となる。
2 地表から飛び出した瞬間の質点Bの運動エネルギーが、そのときの位置エネルギーの大きさの半分である場合を考える。地表を飛び出した後の質点Bの運動では、面積速度が一定となる。質点Bが地球から最も離れた地点に達したときの中心Oからの距離を求めよ。導出の過程もあわせて示せ。
なお、図
5のように質点が地球の中心Oから距離rの位置を速さvで運動している場合、その面積速度はで与えられる。ただし、θ は地球の中心から軌道上の質点に向かう方向と速度のなす角度である。
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[2] 次の文章を読んで、  に適した式か値を、それぞれの解答欄に記入せよ。問1,問2については、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。
なお、以下の設問では、極板等はすべて真空中にあり、真空の誘電率をとする。コンデンサーの極板は極板間距離に比べて十分大きく、極板端での電場の乱れは無視できる。導線や導体の抵抗は無視できるものとし、導線はしなやかで軽く、質量が無視できるとともに、極板の動きに影響を与えないものとする。また、重力加速度を
gとする。

(1) 1のように、極板@と極板Aからなる平行板コンデンサーがある。極板@は固定されており、極板Aは左右に滑らかに動かすことができる。コンデンサーの極板の面積をSとし、極板@には電荷が、極板Aには電荷が蓄えられているものとする()
極板@に垂直で極板Aに向かう方向をx軸とし、極板@の位置を,極板Aの位置をとする()。このとき、コンデンサーに蓄えられているエネルギーW イ である。ここで、極板Aを平行に保ったまま微小距離だけ極板@と反対方向に動かしたあとにコンデンサーに蓄えられているエネルギー ロ である。このエネルギーの変化は、極板@と極板Aが引き合う力に逆らって動かしたために生じたものである。そこで、このエネルギーの変化から極板Aに働く力の大きさを求めると、 ハ となる。

(2) 2のように、極板Bと極板C、および極板Dと極板Eからなる2つの平行板コンデンサーがある。極板Bは固定されている。極板Cと極板Dは質量が無視できる導体の棒で接続されて一体化しており、極板を平行に保ったまま上下に滑らかに動かすことができるものとする。図2のように2つのコンデンサーは直列に接続されており、電圧Vがかかっている。これら2つのコンデンサーは十分離れており、互いにクーロン力を及ぼさない。極板Bと極板Cの面積はともに,極板Dと極板Eの面積はともに,それぞれの極板の質量は面積に比例し、その比例定数をpとする()2つのコンデンサーの極板間距離をともにdとする。このとき、極板Bと極板Cが引き合う力の大きさは ニ である。
いま、極板が引き合う力と重力がつり合うように電圧Vを調整すると、2つのコンデンサーの極板間距離がともにdとなった状態で静止した。このとき、極板の面積 ホ 倍であり、電圧Vは、極板の面積を用いることなく ヘ と表すことができる。

(3) 3のように、極板Fと極板G,および極板Hと極板Iからなる2つの平行板コンデンサーがある。極板Fと極板Iは固定されている。極板Gと極板Hは質量が無視できる絶縁体のバネで接続されており、極板を平行に保ったまま上下に滑らかに動かすことができるものとする。このバネのバネ定数はkである。2つのコンデンサーは十分離れており、互いにクーロン力を及ぼさない。すべての極板の面積はSであり、質量をとする()
いま、極板F,極板Gにはそれぞれの電荷が帯電しており、極板H,極板Iにはそれぞれの電荷が帯電しているものとする()。図中のスイッチは開いており、極板が引き合う力、重力、バネの力がつり合ってすべての極板は静止している。また、2つのコンデンサー極板間距離をともにdとする。このときのバネの自然長からの伸びは、Qを使わずに表すと ト である。
次に、時刻でスイッチを閉じると同時に、極板Gが静止したまま極板Hが単振動を始めるように
qの値を選ぶとともにQを時刻tに応じて適切に制御した。この単振動の中心は極板Hの最初の位置から チ だけ上方にあり、その振幅は リ である。また、振動の周期T ヌ である。
1 極版Fと極板Gの間には引力しか働かないため、極板Hの振幅が大きい場合は極板Gを静止させておくことができなくなる。極板Hが単振動している間、Qを制御することで極板Gを静止させておくことができるqの範囲を求めよ。導出の過程もあわせて示せ。
2 極版Hが単振動している間、極板Gを静止させておくためのQを時刻t の関数として求めよ。導出の過程もあわせて示せ。
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[3] 次の文章を読んで、  に適した式か値を、{  }からは適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。また、問1,問2については、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

1に示すように、ピストンWと仕切板Dによって内部の領域を分けられたシリンダーがある。シリンダーは固定されており、ピストンWと仕切板Dは摩擦なしに動くことができる。ピストンWと仕切板Dの間を領域Aとし、仕切板Dとシリンダー右端の間を領域Bとする。領域Aと領域Bには、異なる理想気体がそれぞれ密閉されている。定積モル比熱を,気体定数をRとすると、領域Aと領域Bに密閉さている気体のの値は、それぞれである。シリンダーの外壁とピストン,仕切板は、すべて断熱材でできている。領域Bの気体は、シリンダーの右端に取り付けられた温度調節器Cによって加熱または冷却される。領域Bの気体全体の温度は、すみやかに温度調節器の設定温度になるものとする。なお、温度調節器の電源を切ると、領域Bは断熱環境となる。さらに、シリンダー内部にはストッパーSが設けられており、仕切板がストッパーより右側に動くことはない。仕切板がストッパーの位置にあるときの領域Bの体積はである。ピストン、仕切板、ストッパー、温度調節器の体積は無視できるものとする。また、ピストンの左側は常に大気圧となっており、その値はである。
最初、領域
Aの気体の圧力、体積、温度は、それぞれであり、領域Bの気体の圧力、体積、温度は、それぞれであった。この状態を初期状態とする。このとき領域Aの気体と、領域Bの気体のモル数はそれぞれ、 あ  い である。初期状態から以下の(1)(4)に示す操作を行った。

(1) 温度調節器で領域Bの気体を加熱し、温度をからまでゆっくりと上昇させた。このとき、領域Bの気体の内部エネルギーの変化は う であり、領域Bの気体がした仕事は え であるから、領域Bの気体が温度調節器から吸収した熱量は お である。

理想気体の断熱変化では、は一定である。ここでγは比熱比と呼ばれ、定圧モル比熱をとすると、で定義される。理想気体では、の差 か に等しいことを考慮すれば、領域Aの気体の比熱比は き であり、領域Bの気体の比熱比は く である。
なお、以下の解答では、領域
Aの比熱比 き α,領域Bの気体の比熱比 く β と表記せよ。

(2) (1)で行った操作に引き続き、温度調節器で領域Bの気体の温度をに保ちながら、ピストンWに外力を加え、ゆっくりと右方へ押し込んでいった。仕切板DがストッパーSに接触したとき、ピストンWを押し込む操作を中断し、そのままの状態で保持した。このとき領域Aの気体の体積は け である。
1 (2)で行った操作で、外力が気体にした仕事を求めよ。ただし、領域Bの気体が温度調節器を通じて外部に放出した熱量をQとする。導出の過程も合わせて示せ。

(3) (2)で行った操作に引き続き、さらにピストンWを押し込んでいくと、領域Aの気体の体積がとなった。この時点でピストンWを押し込む操作を中断し、そのままの状態で保持した。このとき、領域Aの気体の圧力は こ である。
2 (2)で行った操作の開始から(3)で行った操作の終了までの間において、領域Aの気体と領域Bの気体の状態変化を、横軸を体積、縦軸を圧力として図示せよ。また、領域Bの気体がされた仕事に相当する領域を図中に斜線で示せ。ただし、各操作の過程で状態の変化があるときは、変化の進む方向に矢印を付し、その変化の始状態と終状態における体積と圧力を図中に記入せよ。

(4) (3)の操作に引き続き、温度調節器で領域Bの気体を加熱した。仕切板D がストッパーから離れかけた瞬間に温度調節器の電源を切り、領域Bを断熱環境とした。その後、領域Aの気体の圧力が大気圧に等しくなるまで、ゆっくりとピストンWを左方に移動させた。このとき、領域Bの気体の体積は さ であり、そのときの領域Aの気体の体積{し:@より大きい Aより小さい Bと等しい}。また、この過程で領域Aの気体のした仕事は、領域Bの気体のした仕事{す:@より大きい Aより小さい Bと等しい}。気体の仕事に関するこのような性質は、熱機関における効率を考える上で重要である。
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