線積分

平面上の曲線Cの部分の長さsを考えます。
まず、この曲線の
の部分をn等分して、その一つ分をほぼ長さの線分であると見なし、その線分を対角線とする長方形を考えます。長方形の各辺は、x軸,y軸に平行とし、x軸に平行な辺の長さがy軸に平行な辺の長さがだとします。
です。
の極限で、とすると、
となります。
ここで、
は、経路Cに沿って積分するという意味です。
よって、曲線に沿った微小な長さを
として、曲線の長さsは、
で与えられます。

曲線
C上で経路に沿った長さsの関数の経路に沿った積分は、xの関数として表したときとして、
この積分をスカラーg線積分と言います。
曲線
の接線がx軸となす角をq とすると、なので、
とも書けます。

曲線
Cの接線方向の単位ベクトルを (q x軸,jy軸のなす角),ベクトルの成分xの関数、yの関数だとして、

より、
この積分をベクトル線積分と言います。当ウェブサイトでは、線素と呼ぶことにします。
経路
Cが特に閉曲線である場合には、線積分を、のように書きます。

空間中の曲線
Cについても、同様の議論によって、曲線の長さを
曲線Cの接線方向の単位ベクトルを,線素をとして、ベクトルの線積分を
と考えます。


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