磁気双極子

電気では、正電荷負電荷という物理的実体が存在しました。
ですが、磁気では、単一
磁荷、つまり、N極だけの磁荷S極だけの磁荷というものは存在しません。磁石は、必ず、N極とS極がペアになって存在するのです(磁気におけるクーロンの法則を参照)
仮に単一
磁荷が存在するとして、N 極とS極が組になって存在する基本単位となるものを考えます。右図のように、磁荷磁荷微小距離h隔てて置いたものを磁気双極子と言います。

真空中において、
磁荷mが、距離r離れた位置に作る磁界の大きさHは、
 (磁気におけるガウスの法則を参照)
これより、電位と同じように磁荷mの作る磁位V(単位磁荷当たりの位置エネルギー)を考えると、
 ・・・@
磁気双極子が作る磁界を考えてみます。両磁荷が置かれている直線をz軸とし、磁荷磁荷に置かれているとして、両者が点Pに作る磁位は、@より、
両者を重ね合わせると、
Pにおける磁位は、として、
 (分母の根号内のを無視)

z軸のなす角をq として、より、
 ・・・A

次に、原点に中心をもつ半径aの円周に沿って電流Iが流れる場合の磁位を考えてみます。
この円の中心を通って円に垂直に
z軸をとります。
円周上の点
Pにおける微小変位を考えると、点Pにおける電流素片が空間内の点Qに作る磁界は、として、ビオ・サバールの法則より、
これを電流の流れる経路Cに沿って積分すれば(つまり、経路に沿って並んでいる電流素片が点Qに作る磁界を足し合わせて)Qにおける磁界が求められます。
 ・・・B
ところで、Pにおける磁位Vとして、電位と同様に、 (偏微分を参照)なので、における磁位の変化は、
 (全微分を参照)
このに、Bを代入すると、
 (線積分は、に関する積分です) ・・・C
この積分の中に出てくる、の絶対値は、3辺とする平行六面体の体積です(外積を参照)
C式は、を、と変化させたときの
磁位Vの変化を表す式ですが、ここで見方を変えて、Pを固定させてQを動かすことによりを動かすのではなく、逆に、Qを固定させて、を、と変化させたとして、つまり、C式を、電流経路の方を変化させたときの磁位の変化を与える式と見ることにします。電流経路を半径がほぼゼロの円から半径aの円まで変化させるときの、微小経路変化が与えると見ます。
すると、
半径0からaまで変化させて(このとき、で指定される点Pの経路をとします)、C式を線積分することにより、磁位Vを、
と書くことができます。ここで、Cに関する線積分はに関する積分、に関する線積分はに関する積分です。2つの線積分は、原点を中心とする半径aの円Uの面積分に変わります。の作る平行四辺形を先の平行六面体の底面と考え、この面積とし、面積素片として、
ここで、電流がz軸負方向から見て右回りに流れているとき(このときをとします)には、は電流の方向、は円の中心から外向きで、の向きはz軸負方向になります。より、
面積分は、Qから円Uを見たときの立体角です。よって、
この関係式を、アンペール等価磁石の法則と言います。
z軸のなす角をq として、円の面積に垂直な方向への正射影の面積,立体角は
 ・・・D
、つまり、電流の流れる向きを右ねじの回る向きとして、z軸の方向が右ねじの進む向きになるとき、
であれば、で、Vrに関して単調減少、
であれば、で、
Vrに関して単調増加、
となります。特に、を考えると、磁界z軸方向(右ねじの進む向き)を向きます。これより、円形電流では、右図のような磁界が生じていることがわかります。

Dは、円形電流の作る
磁位で、Aは、単一磁荷の存在を仮定した磁気双極子の作る磁位ですが、両者は、と見なせば、同じ形をしています。円形電流は単一磁荷の存在を仮定した磁気双極子と同じ効果を持っているのです。
ここで、大きさがで、
磁荷から磁荷に向くベクトルを磁気双極子モーメントと言います。
単一
磁荷が存在しないということは、磁気の基本単位が円形電流だからと考えることもできます。電磁気学では、単一磁荷の存在を仮定せず円形電流を基本として考えても、単一磁荷を想定したのと同じ結果が得られます。
このために、高校物理教科書では、単一
磁荷を想定しない取扱いになっています。


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