力のモーメント

いかなるを加えられても変形せずに元の形状を保つ物体を剛体と言う。
のベクトルが乗っている直線を力の作用線と言う。
を加えても剛体は変形しないので、剛体にかかるは、の作用線上のどこで考えても同じ効果を及ぼす。
ある点
Pの作用線との距離(点からの作用線に下ろした垂線の長さ)を、そのうでの長さと言う。
の大きさとうでの長さの積に、そのが点Pのまわりに反時計回りに剛体を回転させようとしているときに正、時計回りに回転させようとしているときに負、となるような符号をつけたものを、力のモーメントと言う。
剛体に関するつりあいの条件は、剛体に働く
の和が零ベクトル、かつ、力のモーメントの和が零。
剛体に働く
合力を考える場合、平行でない2の和は、の作用線の交点までを移動させて合力を考える。
同じ向きに平行な
2合力は、の大きさをの作用線に垂直な直線との交点をとして、に内分する点に、2と同じ向きで大きさがとして考えることができる。
逆向きに平行な
2合力は、の大きさを ()の作用線に垂直な直線との交点をとして、に外分する点に、ならの向き、ならの向きで、大きさがとして考えることができる。
逆向きに平行な
2の大きさが等しいときは、この2を合成することはできない。この場合の2偶力と言う。偶力は、剛体を回転運動させる。の大きさと2の作用線間の距離との積を偶力のモーメントと言う。


大きさを考える必要のない物体の運動では、物体を質量を持った1個の点(質点と言います)と考えます。このときは、物体が静止もしくは等速度運動を続けるとき、合力が0として力のつりあいを考えればよいのですが、大きさを考える物体では、物体そのものの回転運動を考える必要が出てきます。
従って、剛体に関するつりあいの条件には、
合力が零ベクトルになる、というだけでなく、回転しない条件、力のモーメントの和が0という条件を付け加える必要があります。

(1) 同じ向きに平行な2の合成
右図において、合力が作用している点との作用線との距離abなので、この点のまわりの力のモーメントのつりあいの式:
ab =
(2) 逆向きに平行な2の合成
右図において、合力が作用している点との作用線との距離abなので、この点のまわりの力のモーメントのつりあいの式:
ab =
この場合には、のとき、外分点が存在しなくなるので、2を合成できません。この2力を偶力と言いますが、剛体を回転させる働きをします(以下に詳述します)

 右図のように、質量M,長さLの一様な棒が水平な床に置かれていて、B端を、床となす角がq の方向に大きさFの力で引っ張る。床と棒の間の静止摩擦係数がmだとして、棒が滑り出すことなく、B端が持ち上がるための角q の条件を求めよ。

解答 B端が持ち上がる瞬間に、棒が床から受ける垂直抗力N静止摩擦力fは、A端に働きます。
棒の
重力は棒の中心に働いていて、この点で考えたFうでの長さは、右図のように、Fのモーメントは、 (反時計まわりに棒を回そうとするので正)です。
棒に働く鉛直方向の
力のつり合い ・・・@
棒に働く水平方向の
力のつり合い ・・・A
棒の中心のまわりの
力のモーメントのつり合い ・・・B
床と棒の間が滑り出さない条件:
 ・・・C (摩擦力を参照)
@より、 ・・・D
Bに代入して、

Dより、
Aより、
Cより、
......[]

上記について、詳細に検討してみます。
質量mの物体にが働いているとき、物体の加速度として、
運動方程式
の両辺ととの外積を考えます。
 ・・・@
ここで、外積ベクトルの大きさが2つのベクトルが作る平行四辺形の面積になることから、同じベクトル同志の外積は零ベクトルになります。従って、
これより、@の右辺は、と書くことができて、
 ・・・A
が得られます。
左辺のの大きさは、のなす角をq ()として、
となりますが、は、うでの長さなので、は、大学入試の試験範囲におけるのモーメントです。
一般的には、
を、のモーメントと言います。
もっと一般的に言うと、どんなベクトル
についても、を、ベクトルのモーメントと言います。大学入試においても、単に「モーメント」と言わないで、一々、「力の」モーメントと言うのは、そのためです。
Aの右辺に出てくる
の大きさは、のなす角をj ()として、
となりますが、これは、で作る三角形の面積の2倍になっていて、ケプラーの第2法則に出てくる面積速度の2倍になっています。
ケプラーの第
2法則は、物体に働く力が中心力(つねに、ある1定点を向く)であれば、面積速度が保存されるという法則であって、面積速度は回転運動の勢いのようなものを表しています。一般的には、E式右辺の質量mを微分の中に入れて、角運動量と言います。
A式は、
角運動量時間変化は力のモーメントに等しい、力のモーメントが回転運動を起こすと言っている式です。

ここで、剛体を考え、剛体を
質量の部分に分けて考えます。は剛体全体の質量です。に位置する質量の部分にが加えられているとします。この部分の運動方程式は、
この両辺を剛体全体で足し合わせます。各部分の質量は剛体なので時間変化はなく、より、
剛体を考えているので、剛体の重心位置は剛体内を移動することはなく、より、
 ・・・B
これは、剛体にかかる合力が、剛体の全質量Mが重心に集中しているとして、剛体の並進運動を考えれば良い、ということを表しています。しかしながら、合力を考える場合に、の作用点を1点にまとめられないがあります。それは、たがいに平行で等大逆向きの(偶力)の場合です。の中に偶力となるものがあるときには、B式では都合が悪いので、1点に働くとしてまとめられるものと、偶力になってしまうものに分け、並進運動については、Bの左辺のを、偶力となる組み合わせを除いた合力として考えます。
B式の左辺の中に、
偶力となる組み合わせが残る場合、つまり、という関係にある2という力が、に働いているような組み合わせが残る場合には、Bの左辺のから偶力となるものだけを取り出して考えることにします。が全て偶力となるのみだとすると、です(あるいは、力のつりあいが成立している場合を考えます)。この場合には、Bは、剛体の重心が静止を続けるか、等速度運動を続けるということを示しています。
しかしながら、
を作用点とする、偶力となる組み合わせの2 ()については、運動方程式:
のそれぞれについて、との外積をとると、
を重心の位置ベクトルと重心からのずれに分けて、と書き、両者の和をとると、
また、 (偶力のモーメントと言います)とおくと、
この式の両辺を剛体全体について足し合わせると、は重心からのずれなので、より右辺第2項の和は,また、時間変化の総和はで、右辺第3項の和もとなり、第1項と第4項の和が生き残り、としてAを導いたのと同じ式変形を行えば、
は剛体の重心の角運動量です。は重心から各部分を見たときの各部分の角運動量です。剛体については、偶力の総和が角運動量時間変化である、という式を考えて回転運動を考えることになります。剛体については、合力が零ベクトルであっても、偶力の和が零ベクトルにならずに回転運動を行う場合があります。
従って、剛体のつりあいの条件は、「
合力が零ベクトルであってかつ、力のモーメントの和が零ベクトル」ということになります。


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