不等速円運動

半径rの円周上を運動する物体に働く力が、円の中心を向いていない場合は等速円運動をしません。このときの運動を、このサイトでは、不等速円運動と呼ぶことにします(正規の用語ではありません)
このときは、物体の
速さv角速度w も一定値にはなりません。

円の中心を原点にとって、
x軸方向からの回転角をq とします。物体の位置は、半径rを定数として、

物体の速度は、


よって、物体の速度は接線方向を向いています。と書く(w は定数ではありません)と、と書けて、
等速円運動の公式:
は、各瞬間において、不等速円運動であっても成立します。
物体の
加速度は、


 
これより、加速度の動径方向(法線方向)成分はより、接線方向成分はです。
不等速円運動の
運動方程式では、接線方向も考える必要があります。法線方向に働く(向心方向を正とします),接線方向に働くといて、運動方程式は、
法線方向について、()
接線方向について、
法線方向の運動方程式は、等速円運動の場合と同じです。接線方向の運動方程式は一般的には解けないので、これに代わるものを考えます。
入試問題では、摩擦などを無視して
力学的エネルギー保存則が成立する状況で問題を考える場合がほとんどです。このときには、
不等速円運動の問題は、法線方向の運動方程式(等速円運動と同じ)と力学的エネルギー保存則を連立

することによって、解きます。大学入試では頻出なので覚えておいてください。
摩擦を考える場合でも、
摩擦力のする仕事を考えてエネルギーの式を立てれば、解決できるようになっているはずです。

[1] 長さrの軽く堅い棒の一端に質量mのおもりをつけ他端を中心に、鉛直面内で回転させます。最高点を通過するための、最下点における速さに関する条件を求めます。重力加速度gとします。
最高点での
速さvとして、最下点と最高点での力学的エネルギー保存より、
最高点を通過する条件は、


[
2] 長さrの軽い糸の一端に質量mのおもりをつけ他端を中心に、鉛直面内で回転させます。糸がたるむことなく最高点を通過するための、最下点における速さに関する条件を求めます。重力加速度gとします。
糸の場合には、たるんでしまうことがあるので、
[1]の力学的エネルギー保存に付け加えて、糸の張力Tも考える必要があります。
力学的エネルギー保存は例
1と同じく、 ・・・@
最高点における糸の
張力Tとして、最高点での運動方程式は、 ・・・A
@より、
Aに代入すると、
最高点でも糸がたるまない条件は、 (覚えておくこと)



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