として位置エネルギーを
と考えたものを調和振動子といいます。ここで、
として位置エネルギーをと考えたものを調和振動子といいます。
･･･①
とおくと、
(C：積分定数)
で
，
として、
，
として、
，
として、
の置き換えを行う(量子力学の基礎を参照)と、シュレーディンガー方程式は、
･･･②
とおくと、
とすると、
で割ると、
･･･③
･･･④
を考えます。最高次の係数が
であるn次の多項式になります(後述の⑩式を用いて数学的帰納法で証明できます)。 ･･･(＊)
，
，
，
，
，･･･
として、
･･･⑤
･･･⑥
のとき、左辺は、
のとき、⑥が成り立つとして、
のときにも⑥が成立します。よって、すべての自然数nで⑥が成立します。
･･･⑦
･･･⑧
の定義④：
より、
･･･⑨
･･･⑩
･･･⑪
，つまり、
のとき、
でポテンシャル障壁が高くなるので、電子は無限の彼方には行きません。つまり、③において、
，
のとき、
となるような関数として、
を考えます。これより、
とおいて
，
を調べると、、
について、
･･･⑫
，つまり、
(
)であれば、
となることがわかります。
が固有値です。プランクの量子仮説は、シュレーディンガーの理論の結果を先取りしたものになっています。
に対応する固有関数は、
は何回微分しても、(uの多項式)×
の形になるので、
のとき上式中括弧内第1項は0に近づきます。よって、
･･･⑬
のときには、(＊)に書いたように、
はk次の多項式なので
回微分した時点でゼロになり、
となります。またjとkを入れ替えて考えると、
のときも
です。つまり、
を成分とする行列の非対角成分はゼロです。対角成分は、
のとき
は最高次の係数が
であるj次の多項式で、部分積分を
回行った後、
(
は
をj回微分するところから出てきます)となるので、⑬で
としてさらに
回部分積分を続けると、
を、
(
のとき)，
(
のとき)として定義(クロネッカーのδと言います。
を要素とする行列は単位行列です)すると、
を満たす、②の規格化された解は、
より、
