ストークスの定理

ストークスの定理

空間中に閉曲線Cがあり(簡単のために凸な曲線だとします)Cで囲まれた曲面Uがあり、曲面U上の点Pが、を満たしているとします。xyzの関数であるベクトルについて、閉曲線Cに沿って線積分することを考えます。
 ・・・@
ここで、について、を代入して、xyの関数と考えて、とおきます。
zxyの関数なので、連鎖定理を用いると、
 ・・・A

曲面U上の点Pにおける大きさ1の法線ベクトルx軸,y軸,z軸となす角をqjfとして、ですが、点Pにおける曲面Uの接平面を、点Pを通りxy平面に垂直かつx軸に平行な平面で切ると、切り口の直線の方向ベクトルは,接平面を、点Pを通りxy平面に垂直かつy軸に平行な平面で切ると、切り口の直線の方向ベクトルはは、この2つのベクトルが作る平面に垂直なベクトルなので、両者の外積を求めると、
このベクトルはに平行なので、として、
と書けます。
よって、
より、Aを、
 ・・・B
と書くことができます。

閉曲線Cxy平面への射影としてできる曲線をで囲まれる領域をDとします。
閉曲線
C上の点も曲面U上の点だからを満たしていて、であり、xy平面上のにおけるxyの関数と考えて、
ここで、に位置し、で囲まれる領域Dをあるx座標のところで切ったときに、だとします。で上下に分けて、上側をH,下側をLとして、を領域D面積分すると、

 (の回り方は反時計回りとします)
よって、Bより、
(面積分を参照)より、領域Dにおける積分を、曲面Uの積分として、
 ・・・C

Cと同様にして、
 ・・・D
 ・・・E
C+D+Eより、
大きさが,向きがであるベクトル(面積素片)として、
 (rotについては回転を参照)
これを、ストークスの定理と言います。


   物理基礎事項TOP   物理TOP   CHALLENGE from the VOID   TOPページに戻る

(C)2005, 2006,2007 (有)りるらる雑誌「大学への数学」購入Newton e-Learning
inserted by FC2 system