東工大物理'10年前期[1]

密度が一様で等辺の長さがLである直角二等辺三角柱の形状をした2つの物体ABがある。図に示すように、等辺の1つを下にして、2つの物体をz軸上で接するようになめらかな水平面上に置く。接する線分の中点を原点Oとし、物体に沿ってx軸を、鉛直上向きにy軸をとる。物体Aを水平面に固定し、物体Aの斜面の中点Pから斜面に垂直に速さで小球を投げ出したところ、小球は物体Aに衝突することなく、物体Bの斜面上の点Qに、斜面に垂直に衝突した。小球と物体Bとの衝突は弾性衝突であり、小球はxy平面内を運動する。小球の質量をm,物体Bの質量をM,重力加速度の大きさをgとして、物体Bを水平面に固定した場合と固定しない場合について、以下の問いに答えよ。

[A] 物体Bを水平面に固定した場合について考える。このとき、小球は物体Bの斜面上の点Qに衝突した後、点Pに衝突した。
(a) Qx座標とy座標をLを用いて表せ。また、gLを用いて表せ。
(b) 小球が点Qで物体Bと衝突してから、物体Aに衝突するまでに到達し得る最高点の水平面からの高さHLを用いて表せ。

[B] 物体Bを水平面に固定せず、物体Bが水平面上をx軸の正の向きに自由に運動できる場合について考える。このとき、物体Bの斜面上の点Qに衝突した小球は、その後、2つの物体に衝突せずに原点Oに落下した。
(c) 小球が物体Bと衝突してから原点Oに落下するまでに、小球が到達し得る最高点の水平面からの高さHを用いて表せ。
(d) 小球が物体Bと衝突した直後の、小球の速度のx成分vと、物体Bの速度Vを、mMおよびを用いて表せ。
(e) 小球が点Pから点Qまで運動するのに要する時間をTとするとき、小球が点Qに衝突してから原点Oに落下するまでに要する時間Tを用いて表せ。
(f) 物体Bの質量と小球の質量の比を有効数字2桁で求めよ。

解答 衝突に関する標準的な問題なのですが、[B]には問題点があります。

[A](a) 物体Aの斜面は直線,物体Bの斜面は直線です。小球の速度の方向は、小球の移動経路に引いた接線の方向になります。Pを出発したときの速度の方向は直線に平行な方向で、Qで物体Bに衝突したときの速度の方向は直線に垂直な方向です。PQ間で、小球の移動経路となる放物線は、Pにおいて接線の傾きは1Qにおいて接線の傾きはになりますが、放物線は軸に関して対称なので、Qy座標Py座標と等しく、 ......[],また、放物線の軸はy軸であって、Qx座標 ......[]

小球の運動のx方向成分は速度の等速度運動で、PからQまでに要する時間Tとすると、x方向に距離L移動するので、

等加速度運動の公式より、小球の速度y方向成分について、
......[]
これより、 ・・・@
別解.
Pから小球を投げ出した時点として、時刻tにおける小球の位置は、
 ・・・A
Qに来るとき、として、
 (つまり、PからQまでに要する時間Tとして、)
時刻tにおける小球の速度は、
において、
このとき、物体
Bの斜面に垂直に衝突するので、


Aに代入して、のとき、
(b) 衝突によってエネルギーは失われません。Pから投げ出された時点と最高点(速度y成分は0になり速さx成分のとなる)とにおける力学的エネルギー保存より、

......[]
別解.等加速度運動の公式より、物体Bと衝突した時点として(このとき、速度のy成分は)時刻tにおける小球のy座標について、
これは、のときに最大値をとります。

[B](c) 小球は物体Bの斜面に垂直に衝突するので、物体Bから斜面に垂直に力積を受け、衝突直後の小球の速度x成分をv ()とするとy成分はとなります。
QからOへの移動時間とすると、QからOへの小球のx方向の移動について、

小球のy方向の移動について、

() ・・・B ( @)
最高点における小球の速さはなので、衝突直後と最高点での力学的エネルギー保存より、

(b)
の結果を用いて、
......[]
(d) 衝突後の物体B速度Vとすると、に注意して、衝突前後における水平方向の運動量保存より、
 ・・・C
反発係数の式
 ・・・D
Cに代入すると、

......[]
Dに代入して、
......[]
(e) Bより、 ......[]
(f) Bと(a)(d)の結果より、


......[]
追記.上記では、衝突直後の小球の速度x成分をv ()とするとy成分はになる、として解答しましたが、斜衝突の問題では、衝突面に垂直な方向では反発係数の式を立て、衝突面に平行な速度成分は変化しない、と考えるのが基本です。本問では、衝突によって物体Bが動いてしまいます。衝突直前では、小球は衝突面に平行な速度成分をもちません。衝突直後では、斜面から見た小球の速度の衝突面に平行な速度成分は、です。以下では、衝突直後の小球の速度になることを前提とせずに考えてみます。
衝突直後の小球の速さu,衝突直後の速度が水平方向となす角の大きさをq とすると、です。また、小球の速度の衝突面に垂直な方向成分はです。
水平方向の運動量保存 ・・・C
反発係数の式 ・・・E
力学的エネルギー保存 ・・・F
Eより、

 ・・・G
Cに代入して、
 ・・・H
Gに代入して、
 ・・・I
H,IをF×に代入すると、より、
整理して、
をかけて、さらに整理すると、


は上記で求めた解ですが、もう一つ、という解が出てきます。
のとき、Hよりとなり、なので、衝突直後の小球の
速度となり、よりです。
ですが、のとき、Hより,Iよりとなり、衝突直後の小球の
速度とはならず、なのでです。このときの、斜面に沿う方向での、斜面に対する衝突直後の小球の相対速度成分は、
となるので、斜衝突の原則を満たしています。
この場合、なので、という関数から考えて、のときのとき,とくに、のときのときとなっています。つまり、小球は斜面に垂直に衝突して入射角より大きな角の方向に跳ね返ります。
に速度で点
Qを飛び出し、時刻に原点に到達するとして、
これよりTを消去して、
 ・・・J
Jに代入して、
を代入すると、
のときには、で原点に到達することはあり得ないので、

このときq は、の範囲内の角ですが、小球は物体Bと衝突後、のときと同様に原点Oに到達します。


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