東京工業大学2012年前期物理入試問題

[1]
 幅の無視できる円弧型のレールABC(半径R,長さ)があり、円弧を含む面と床が垂直になるよう置かれている。レールの中央Bは常に床に固定されており、Bを通る鉛直線OBを軸としてレールは回転することができる。大きさの無視できる物体(質量M)は、レール上を運動するとき、レールに束縛されながらなめらかに運動し、両端(AC)でのみレールから離れることができる。
物体が円弧型レール上を運動するとき、円弧の中心
Oから見て、物体がOBとなす角をθ とする。重力加速度の大きさをgとし、以下の問いに答えよ。

[A] レールが回転していないとき、質量Mの物体をAに乗せ、静かに離したところ、物体はレール上を図1のように運動し始めた。
(a) 物体が角θ ()の位置を運動しているとき、物体の速さ、レールから受ける垂直抗力を求めよ。
(b) 物体がレール上を運動し、Bの位置に到達したとき、レール上で静止していた大きさの無視できる物体(質量m)と衝突した。衝突後、質量mの物体はレール上をなめらかに運動し、再び衝突することなく、レールの端Cから離れた。2つの物体間の反発係数がe ()であるとき、この運動が実現するためのmの条件を求めよ。

[B] OBを軸にして、円弧型のレールを図2のように回転させる。このとき、レール上の物体(質量M)はレールとともに回転運動する。
(c) ある角速度ω でレールが回転し、角θ ()の位置で物体が等速円運動している場合について考える。この運動を、回転しているレール上の観測者から見ると、物体に働く力は図3のようにつり合い、物体は静止して見える。この観測者から見た物体に働く力(3:ア,イ,ウ)の名称を書け。また、この運動は角速度ω の条件を満たすとき実現する。このときを求めよ。
(d) (c)において、レールの角速度を ()に固定する。このとき、回転しているレール上の観測者から見ると、角の位置で物体に働く力はつり合い、物体は静止して見える。次に、物体をつり合いの位置から少し動かし離したところ、物体はレール上を運動し始めた。円弧型レールを含む平面内で物体に働く力は、図33種類である。物体が角θ ()の位置で運動しているとき、物体に働くレールに沿った方向の力の大きさを、重力加速度gを用いずに表せ。
(e) (d)において、角からの変位()が十分に小さい場合について考える。このとき、物体に働くレールに沿った方向の力は、つり合いの位置からの距離に比例し、その方向は常につり合いの位置を向いているため、物体は単振動をする。この単振動の周期を重力加速度gを用いずに表せ。
ただし、が十分小さいとき、の項は無視することができ、必要なら次の式を用いよ。

(f) (c)の状態から、レールの角速度ω をゆっくりと増加させた。この過程において角速度の変化は十分小さいため、短い時間における物体の運動は角速度ω の等速円運動をみなすことができる。角速度がに達したとき、物体はレールの端Aから離れた。このとき、レールを真上から見ると、床面で定義されているx軸と、図4のように重なって見えた。その後、レールから離れた物体はしばらくして床に落下し、レールは角速度を保ったまま回転した。物体が落下したとき、物体とレールを真上から見ると、図5のように見えた。
この運動を2つの異なる座標系から考えてみる。以下の空欄に入る適切な数または数式を答えよ。

床で静止している観測者から物体の運動を考える。物体がレールから離れた直後、物体に働く力は、
x軸の正の向きに @ ,鉛直下向きに A である。そのため、時間 B の後、物体はレールの中央Bから見て、x軸と角φをなし、距離 C だけ離れた位置に落下する。ここで角φ D を満たす。
次に、レールの中央
Bでレールとともに回転している観測者から物体の運動を考える。物体がレールから離れた直後、物体は静止していると見なすことができ、物体に働く力はレールを含む平面内の力のみとなる。その後、物体はレールを含む面から離れ、その面と角()をなす位置に時間 B の後落下する。ここで、 E である。このことから、回転している座標系において物体が運動しているとき、レールを含む面から離れる方向にも見かけの力は働いていることがわかる。
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[2] 面積Sの同じ形状を持つ導体極板ABが間隔dで向かい合わせに配置された平行板コンデンサーを、真空中に置く。このコンデンサーの極板間に、導体極板と同じ形状を持つ面積Sの金属板Pを、極板Aから距離xを隔てて極板に対して平行に置く。真空の誘電率をとして以下の問いに答えよ。ただし、極板端面および金属板端面における電場の乱れはなく、電気力線は極板間に限られるものとする。導線、極板、金属板の抵抗、重力は無視する。また金属板の厚さも無視する。

[A] 図1のように、極板ABは、スイッチSWを介して接続され、極板Aは接地されている。
(a) スイッチSWが開いているとき、極板AB間の電気容量を求めよ。
(b) スイッチSWを閉じた後、金属板Pを電気量Qの正電荷で帯電させる。この電荷によって極板ABに誘導される電気量を、それぞれ求めよ。
(c) (b)において、コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーを求めよ。
(d) (b)の状態から、金属板Pを電気量Qの正電荷で帯電させたまま、金属板の位置をxからまで微小変位させる。この変位による、コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーの変化量を求めよ。ただし、xdに比べては十分小さく、は無視できるものとする。微小変位によりエネルギーが変化するということは、金属板Pは力を受けていることを意味する。微小変位の間は金属板Pに働く力の大きさは一定であると見なして、この力を求めよ。ただし、極板AからBに向かう向きを力の正の向きとする。

[B] 次に、質量mの金属板Pを電気量Qの正電荷で帯電させたまま、図2のように自然長,ばね定数k2つの同じ絶縁体のばねに接続する。ばねの他端は、固定された極板ABにそれぞれつながれている。この金属板は、極板ABと平行を保ったまま、極板に垂直な方向にのみ動くことができる。極板ABは、電流計を介して接続され、極板Aは接地されている。ばねを接続したことによる電気容量の変化、電流計の抵抗、金属板の振動による電磁波の発生は無視する。
(e) 金属板Pの位置をに移動させてから放す。このとき、金属板Pが単振動するために必要となるQに求められる条件をkSdを用いて表せ。また、この条件を満たすとき、単振動の角振動数を求めよ。
(f) (e)の条件で、金属板Pが単振動しているとき、電流計には振動電流が観測される。この電流の最大値を求めよ。導線を流れる電流Iは、微小時間の間に導線の断面をの電荷が通過するとき、と定義される。
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[3][A] 図1上図のように原点Oにスピーカーを置き、一定の振幅で、一定の振動数f の音波をx 軸の正の向きに連続的に発生させる。空気の圧力変化に反応する小さなマイクロホンを複数用いて、x軸上()の各点で圧力pの時間変化を測定する。
ある時刻において、x軸上()の点P付近の空気の圧力pxの関数として調べたところ、図1下図のグラフのようになった。ここで距離OPは音波の波長よりも十分長く、また音波が存在しないときの大気の圧力をとする。圧力pは最大値をとるから、次に最大値をとるまでのxの区間を8等分し、,・・・,と順にx座標を定める。
(a) からまでの各位置の中で、x軸の正の向きに空気が最も大きく変位している位置、およびx軸の正の向きに空気が最も速く動いている位置はそれぞれどれか。

次に点Pで空気の圧力pの時間変化を調べたところ、図2のグラフのようになった。圧力pが最大値をとる時刻から、次に最大値をとる時刻までの1周期を8等分し、,・・・,と順に時刻を定める。
(b) からまでの各時刻の中で、x軸の正の向きに空気が最も大きく変位しているのはどの時刻か。

3のように、原点Oから見て点Pより遠い側の位置に、x軸に対して垂直に反射板を置くと、圧力が時間とともに変わらず常にとなる点がx軸上に等間隔に並んだ。
(c) これらの隣接する点の間隔dはいくらか。なお、音波の速さをcとする。
(d) (c)の状態から気温が上昇したところ、問(c)で求めたdは増加した。その理由を説明せよ。

[B] 音波が大気中を伝わるとき、各部分では空気の圧縮と膨張が繰り返されている。圧縮と膨張は熱の伝達よりはやく起こるため、断熱変化とみなすことができる。音波が空気中をどのように伝わるかについて手がかりを得るため、空気を理想気体として以下のような簡単なモデルを考える。
4上図のように空気をx軸方向に細かく等間隔に分割し、各区間をピストン付きの円筒断熱容器に閉じ込められた空気で置き換える。図4下図はそのひとつの部分を示したものである。ここでピストンはなめらかに動くことができ、また大気圧における容器内の空気の体積をとする。
音波が到達することによりピストンは隣接する空気から力を受け、容器内の空気の圧力がに増加し
(),体積がに減少()したとしよう。ただし、は、それぞれに比べ十分小さい量とする。以下の計算では、微小量どうしの積は無視してよい。また必要ならば、微小量h (1に比べて十分小さい)、ゼロでない数nに対して成り立つ近似式を用いよ。
(e) 容器内に閉じ込められた空気の圧力の増加量と体積の減少率の比をとおく。断熱変化のもとでは、圧力pと体積Vの間にの関係が成り立つことを用いてKを求めよ。ここでγ は、定圧モル比熱を定積モル比熱で割った定数である。
(f) 空気中を伝わる音波の速さcは、Kと空気の密度ρ とを用いてと表せることがわかっている。両辺の次元を比べることにより、αβの値を求めよ。
(g) (e)と問(f)の結果より、付近の音波の速さcは、摂氏温度θ を用いて、という近似式で表せることがわかる。空気の1モル当たりの質量をM,気体定数をRとし、における音波の速さを式で表せ。また、定数aの値を有効数字2桁で求めよ。
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