東工大物理'12年前期[1]
幅の無視できる円弧型のレールABC(半径R，長さ
)があり、円弧を含む面と床が垂直になるよう置かれている。レールの中央Bは常に床に固定されており、Bを通る鉛直線OBを軸としてレールは回転することができる。大きさの無視できる物体(質量M)は、レール上を運動するとき、レールに束縛されながらなめらかに運動し、両端(A，C)でのみレールから離れることができる。
物体が円弧型レール上を運動するとき、円弧の中心Oから見て、物体がOBとなす角をθ とする。重力加速度の大きさをgとし、以下の問いに答えよ。
[A] レールが回転していないとき、質量Mの物体をAに乗せ、静かに離したところ、物体はレール上を図1のように運動し始めた。
(a) 物体が角θ (
)の位置を運動しているとき、物体の速さ、レールから受ける垂直抗力を求めよ。 (b) 物体がレール上を運動し、Bの位置に到達したとき、レール上で静止していた大きさの無視できる物体(質量m)と衝突した。衝突後、質量mの物体はレール上をなめらかに運動し、再び衝突することなく、レールの端Cから離れた。2つの物体間の反発係数がe (
)であるとき、この運動が実現するためのmの条件を求めよ。
[B] OBを軸にして、円弧型のレールを図2のように回転させる。このとき、レール上の物体(質量M)はレールとともに回転運動する。
(c) ある角速度ω でレールが回転し、角θ (
)の位置で物体が等速円運動している場合について考える。この運動を、回転しているレール上の観測者から見ると、物体に働く力は図3のようにつり合い、物体は静止して見える。この観測者から見た物体に働く力(図3：ア，イ，ウ)の名称を書け。また、この運動は角速度ω が
の条件を満たすとき実現する。このとき
，
を求めよ。(d) 問(c)において、レールの角速度を
(
)に固定する。このとき、回転しているレール上の観測者から見ると、角
の位置で物体に働く力はつり合い、物体は静止して見える。次に、物体をつり合いの位置から少し動かし離したところ、物体はレール上を運動し始めた。円弧型レールを含む平面内で物体に働く力は、図3の3種類である。物体が角θ (
)の位置で運動しているとき、物体に働くレールに沿った方向の力の大きさを、重力加速度gを用いずに表せ。 (e) 問(d)において、角
からの変位
(
)が十分に小さい場合について考える。このとき、物体に働くレールに沿った方向の力は、つり合いの位置からの距離に比例し、その方向は常につり合いの位置を向いているため、物体は単振動をする。この単振動の周期を重力加速度gを用いずに表せ。 ただし、
が十分小さいとき、
の項は無視することができ、必要なら次の式を用いよ。 
(f) 問(c)の状態から、レールの角速度ω をゆっくりと増加させた。この過程において角速度の変化は十分小さいため、短い時間における物体の運動は角速度ω の等速円運動をみなすことができる。角速度が
に達したとき、物体はレールの端Aから離れた。このとき、レールを真上から見ると、床面で定義されているx軸と、図4のように重なって見えた。その後、レールから離れた物体はしばらくして床に落下し、レールは角速度
を保ったまま回転した。物体が落下したとき、物体とレールを真上から見ると、図5のように見えた。
解答 地球上で北半球では、低気圧に吹き込む風は反時計回りに回るような渦を描きます。地球上で見て「コリオリの力」と呼ばれる慣性力が、速度に対して右向きに働くためです(南半球では逆になります)。北半球の状況をモデル化した(f)で、この発生原因を考察していますが、「コリオリの力」は高校範囲外であるため、空所補充形式の出題になったと思われます(もちろん、解答に知識は不要です)。
質量Mの物体をM，質量mの物体をmと呼ぶことにします。
[A](a) Aにいるとき、物体Mの床からの高さは、
です。物体Mのエネルギーは、位置エネルギー
のみです。 物体Mが角θ の位置に来たとき、物体Mの床からの高さは
で、物体Mの速さをvとして、物体Mは運動エネルギー
と位置エネルギー
を持っています。
両地点での力学的エネルギー保存より、 ∴ 
......[答] ･･･①
角θ の位置に来たときの物体Mの法線方向の運動方程式は、物体Mがレールから受ける垂直抗力をNとして、 ①を代入して、
......[答]
(b) 衝突直前の物体Mの速さは、①で
として、
･･･② ③を代入して、
∴ 
物体mのBでのエネルギーは、運動エネルギー
のみです。物体mのCでの速さを
として、物体mはCにおいて運動エネルギー
と位置エネルギー
を持っています。BとCでの力学的エネルギー保存より、 物体mがCにおいてレールから離れる条件は、Cにおいても運動エネルギーを有すること、つまり、
で、 ∴ 
②を代入して、 ∴ 
∴ 
......[答]
[B](c) (ア) 垂直抗力 (イ) 遠心力 (ウ) 重力 ......[答]
垂直抗力をNとします。重力は
，物体の回転半径は
で、物体に働く遠心力は
，これらの力のつり合いは、
鉛直方向：
，水平方向：
，
∴ 
･･･④
より
∴ 
，
よって、
，
......[答]
(d) ④は、
となります。これより、
です。 重力の接線方向成分は接線に沿って下向きに
，遠心力の接線方向成分は接線に沿って上向きに
，接線方向に働く力の大きさは、 
......[答]
(e) 問題文の近似を行うと、
物体の変位を
，物体の加速度をaとして、運動方程式は、 ∴ 
これは、角振動数
の単振動を表します。単振動の周期Tは、 
......[答]
(f) 物体は、レールから離れた後、回転運動の接線方向(x軸に垂直な方向)に等速度運動します。物体に働く力は重力のみです。物体に働く力は、x軸の正の向きに0，鉛直下向きに
です。 ① 0 ② 
......[答]物体の鉛直方向の運動は自由落下と同じです。床に落下するまでの時間をt として、レールから離れたとき高さ
だったので、 ∴ 
③ 
......[答]物体Aは、レールから離れる直前、半径
，角速度
の等速円運動をしていました。物体Aの速さは
です。x軸正方向に等速度運動するときの速さも
です。落下地点をP，Pからx軸に下ろした垂線をPHとします。時間
進むので、落下地点とx軸との距離PHは、 Bとの距離OBは、
④ 
......[答] ⑤ 
......[答]時間
の間のレールの回転角
は、角速度
で回っているので、 よって、
⑥ 
......[答]
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⑤ を満たす。
(
)をなす位置に時間 ③ の後落下する。ここで、
⑥ 
である。このことから、回転している座標系において物体が運動しているとき、レールを含む面から離れる方向にも見かけの力は働いていることがわかる。
(
を無視)
，
