東京大学2004年前期物理入試問題

[1] 図1-1のように水平に対しての角をなす斜面上に質量Mの直角二等辺三角形の物体Aを斜辺の面が斜面と接するように置く。直角二等辺三角形の等しい2辺の長さをdとする。Aの上面に質量mで大きさの無視できる小さな物体Bを置く。斜面上に原点Oをとり、水平右向きにx軸、鉛直下向きにy軸をとる。はじめ、Aは上面がとなる位置にあり、BAの上面の右端、すなわち、の位置にある。空気の抵抗および斜面とAの間の摩擦は無視できるものとする。重力加速度をgとする。
T ABの間の摩擦も無視できる場合に以下の問に答えよ。
(1) 1-1のようにAの右面に水平左向きに力Fを加えたところ、2つの物体は最初の位置に静止したままであった。Fの大きさを求めよ。
(2) Fを取り除いたところ、ABは運動を開始した。その後、BA上面の左端に達した。この瞬間のBy座標を求めよ。
(3) BA上面の左端に達する直前のBの速さvを求めよ。
U 図1-2に示すようにA上面の点Pを境にして右側の表面が粗く、この部分でのABの間の静止摩擦係数および動摩擦係数はそれぞれm(ただし、)である。A上面の点Pより左側は、なめらかなままである。問T(1)と同様に、力Fを加えて両物体を静止させた。力Fを取り除いた後の両物体の運動について以下の問に答えよ。
(1) mが十分に大きい場合、BA上面を滑り出さず、両物体は一体となって斜面を滑りおりる。このときの両物体のx方向の加速度y方向の加速度を求めよ。
(2) mがある値より大きければBA上面を滑り出さず、小さければ滑り出す。その値を求めよ。
(3) mより小さい場合に、Bが最初の位置からA上面の左端に達するまでの軌跡として最も適当なものを図1-3()()の中から一つ選べ。ここではそれぞれ、Bの最初の位置、BA上面の点Pに達した瞬間の位置、BA上面の左端に達した瞬間の位置を表す。また破線は直線を示す。
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[2] 図2-1に示すように直交座標系を設定する。初速度の無視できる電荷q (),質量mの陽子が、y軸上で小さな穴のある電極aの位置から電極ab間の電圧Vで+y方向に加速され、z軸に垂直でy軸方向の長さがlの平板電極cd ()からなる偏向部に入る。cd間には+z方向に強さEの一様な電界がかけられている。これらの装置は真空中にある。電界は平板電極c,dにはさまれた領域の外にはもれ出ておらず、ふちの近くでも電極に垂直であるとし、地磁気および重力の影響は無視できるとして、以下の問に答えよ。
T 電極bの穴を通過した瞬間の陽子の速さを、Vqmを用いて表せ。
U その後、陽子は直進し、速さのままで偏向部に入る。
(1) 陽子が電極cに衝突することなく偏向部を出る場合、その瞬間のz座標(変位)を、qmlEを用いて表せ。
(2) Eがある値より大きければ陽子は電極cに衝突し、小さければ衝突しない。その値を、Vlhを用いて表せ。
V 陽子のかわりにアルファ粒子(電荷,質量)を用いて同じVEの値で実験を行ったところ、偏向部を出る瞬間のz座標(変位)であった。を用いて表せ。
W Eの値をに固定し、電極cdにはさまれた領域に+x方向に磁束密度B ()の一様な磁界をかけ、再び陽子を用いて実験した。
(1) Bをある値にしたところ、陽子は偏向部を直進し、偏向部を通過するのに時間を要した。を、lを用いてそれぞれ表せ。
(2) Bをある値 ()にしたところ、陽子が偏向部を出る直前のz座標(変位)は、 ()であった。このときの陽子の速さを、qmVを用いて表せ。
(3) Bの範囲内で変化させて実験を繰り返し、陽子が偏向部を通過するのに要する時間Tを測定した。このとき、BTの関係を表すグラフはどのようになるか、図2-2()()の中から最も適当なものを一つ選べ。
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[3] 図3のように、二つの容器12のそれぞれに1モルの気体12を入れ、水平な床に固定する。これらの気体はともに理想気体とする。二つの容器は摩擦なしに水平に動くことのできるピストンAでつながれている。ピストンAの容器1内の底面積はであり、容器2内の底面積はである。容器2にはさらに、上下に動くことのできるピストンBがついており、その上に質量mのおもりがのせてある。ピストンBの底面積はSであり、その質量は無視できる。容器1には体積の無視できるヒーターが取り付けられている。ピストンABと容器は熱を通さない。気体は容器の外にもれず、容器の外は真空である。気体定数をR,重力加速度をgとする。
T ピストンBが動かないように固定されている場合を考える。
(1) ピストンAが静止している状態において、気体1の圧力と気体2の圧力の間に成り立つ関係式を書け。
(2) はじめ気体1の方が気体2より温度が低く、気体1の体積が,気体2の体積がであった。ヒーターで気体1を加熱して気体12を等しい温度にした。このときの気体2の体積を、を用いて表せ。
U ピストンBが摩擦なく動くことができる場合を考える。ピストンABが静止している状態において、気体1の温度がTであるとき、気体1の体積を、STRmgを用いて表せ。
V 問Uの状態から気体Tをヒーターで加熱したところ、気体1の温度はになり、気体2の温度は変わらなかった。また、ピストンAは右に距離xだけゆっくりと移動し、ピストンBhだけ上昇した。
(1) 移動距離xを、Shを用いて表せ。
(2) 温度を、TRmghを用いて表せ。
(3) 気体1は単原子理想気体として、ヒーターから加えられた熱量Qを、mghを用いて表せ。
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