東京大学2008年前期物理入試問題

[1] 質量mの箱が摩擦のない滑らかな水平面上に静止していたとする。この箱を、時刻0から移動させ始めてちょうど時刻Tに距離Lだけ離れた地点を通過させることを考えよう。ABC3人がそれぞれ別々の力の加え方をして箱を移動させた。Aの箱は最初から最後まで一定の加速度で運動した。Bの箱は距離の中間地点まで一定の加速度で加速し、中間地点以降はその時の速度で等速度運動をした。Cはばねを用いて移動させた。図1のように、ばねが自然長の状態で箱がゴール地点にあるようにセットし、そこからばねを長さLだけ縮めて初速0で離した。ABC全ての場合において、箱は時刻0で静止した状態から動き始め、一直線上を同じ向きに進み、時刻Tにスタート地点から同じ距離Lだけ離れた地点を通過した。

T Cが用いたばねのばね定数kmTを用いて表せ。

U A,BCそれぞれの場合について、箱の速さを時刻t ()の関数としてグラフにし、各々の場合の時刻Tにおける速さTLを用いて表せ。

V ABCそれぞれの場合について、時刻Tまでに箱にした仕事をmTLを用いて表し、どの場合最も仕事が少なかったか答えよ。またそれぞれの場合について、箱にした仕事とUで求めた速さとの関係を求めよ。

W 箱を静止した状態から動かし始め、最小の仕事でちょうど時刻Tに距離Lだけ離れたところを通過させるための力の加え方を求めたい。ただし、箱に加えることのできる最大の力をとし、ABCの加えたどの力よりも大きいとする。また運動の向きと逆向きの力を加えることはないとする。箱にする仕事が最小の場合について、箱に加えた力の時間変化をグラフにし、時刻Tまでに箱にした仕事を答えよ。
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[2] 21のように、電圧を自由に変えられる直流電源とコンデンサーAおよびコンデンサーBを直列につなぎ、コンデンサーAと並列にネオンランプをつなぐ。このネオンランプは図22に示す電圧−電流特性を持ち、端子間にかかる電圧がに達すると点灯する。点灯したネオンランプは、電圧はを下回っても発光を続けるが、電圧がまで下がると消灯する。なお、ネオンランプの電気容量は無視できるものとし、コンデンサーABの電気容量をそれぞれで表す。

T すべてのコンデンサーを放電させた後、電源電圧V0から少しずつ上げていくと、ある電圧でネオンランプが点灯し、その後、消灯した。以下の問に答えよ。ただし、答はを用いて表せ。また、ネオンランプが点灯してから消灯するまでの間、電源電圧は一定であるものとしてよい。
(1) このときの電源電圧を求めよ。
(2) 点灯直前にコンデンサーABに蓄えられていた静電エネルギーをそれぞれとおき、消灯直後にコンデンサーABに蓄えられている静電エネルギーをそれぞれとおく。この間の静電エネルギーの変化およびを求めよ。
(3) 電源は、電源内で負極から正極へ電荷を運ぶことにより、ネオンランプおよびコンデンサーにエネルギーを供給している。また、ネオンランプが点灯してから消灯するまでの間に電源が運んだ電荷の量は、この間にコンデンサーBに新たに蓄えられた電荷の量と等しい。ネオンランプが点灯してから消灯するまでの間に電源が供給したエネルギーを求めよ。
(4) 点灯してから消灯するまでの間にネオンランプから光や熱として失われたエネルギーを求めよ。

U ネオンランプの消灯後、さらに電源電圧Vから少しずつ上げていくと、ある電圧でネオンランプが再び点灯し、その後、消灯した。以下の問に答えよ。
(1) 問Tにおいて、点灯してから消灯するまでの間にネオンランプを通過した電荷の量をQとする。電源電圧Vを超えてに達するまでの間、コンデンサーAにかかる電圧QVを用いて表せ。ただし、この間、ネオンランプに電流が流れることはないため、図21の回路は図23の回路と等価である。また、電荷がコンデンサーを通り抜けることはないため、コンデンサーABに蓄えられている電荷をそれぞれとおけば、コンデンサーAの下側の極板とコンデンサーBの上側の極板をつないだ部分に蓄えられた正味の電荷の量Vによらず一定であり、Qと等しいことを用いてよい。
(2) 点灯時の電源電圧を用いて表せ。
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[3] 31のように、十分な高さLをもった、断面積Sの円筒容器にnモルの気体を入れて密閉し、気体の絶対温度を一定の値Tに保つ。このとき、一様な重力の作用下では、気体の密度は容器の底に近いほど大きく、密度に勾配のある状態になる。容器の底から測った高さをz,単位体積当たりの気体のモル数をcとすれば、czの関数とみなすことができ、関係式
   
   ()
がよい近似でなりたつ。ここで、は高さの差であり、aは高さzによらない比例係数である。は十分小さいものとする。また、気体1モルあたりの質量をm,気体定数をR,重力加速度の大きさをgとする。

T 容器内の気体を理想気体とみなして、以下の問に答えよ。
(1) 高さzにおける気体の圧力をとする。TおよびRを用いて表せ。
(2) 32のように、高さzの位置にある、厚さ,断面積Sの気柱に注目する。ここで、高さzにおける気体の圧力はそれぞれである。また、気柱内のの変化は十分小さく、気柱内の気体のモル数はで与えられるものとする。この気柱にはたらく鉛直方向の力のつり合いを表す式を与えよ。
(3) 上の(1)(2)の結果から、関係式()の係数amgTおよびRを用いて表せ。
(4) 気体の温度が一様に13℃の場合に、単位体積あたりの気体のモル数c0.10%減少するような高さの差を求めよ。ただし、気体1モルあたりの質量は,気体定数は,重力加速度の大きさはとする。
(5) 容器の底と上端での単位体積あたりの気体のモル数の差mgTRnおよびSを用いて表せ。

U 図33のように、軽くて変形しない小さな物体を容器内の気体の中に入れておいたところ、やがて高さの位置で静止した。物体の体積をv,質量をMとして、以下の問に答えよ。
(1) 高さにおける単位体積あたりの気体のモル数Mvおよびmを用いて表せ。
(2) 物体が高さ ()にあるとき、物体にはたらく力Fの大きさをMga,およびを使って表し、また、その向きを答えよ。ただし、は十分小さく、関係式()がなりたつものとしてよい。
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各問検討

[1](解答はこちら) この問題は、教科書が理解できていれば解答可能です。特別な知識や考え方などを知っている必要はありません。最近の物理の教科書は、色刷りで図表などをふんだんに盛り込み、説明文も理解しやすく工夫されていてよくできています(学習指導要領の混乱に伴うカリキュラム上のおかしな点はありますが)。特に、高校12年生は、教科書をしっかり読み込んでおくべきです。基礎事項がマスターできていないのに、力学的エネルギー保存の特殊な考え方(東大‘94年前期[1]など)をする問題に取り組んでも意味はないのです。この問題の出題者の意図はそういうところにあると思います。

この問題を解答するために必要な事項は、
系のエネルギーを奪うような外力がなければ力学的エネルギーは保存されるという事実、
等加速度運動の公式:

速度vと位置xの関係:
単振動の公式: (または、ばね振り子の公式:)
運動エネルギー:
これだけです。特殊な考え方をする部分はありません。ボリュームはたっぷりあるので、処理速度は問われますが、知識量を要求されているわけではありません。
東大物理が毎年すべての問題が基礎的な問題ばかり、というわけではありませんが、まずは、基礎固めのためにしっかりと教科書をよく読んでおいてください。


[2](解答はこちら) ネオンランプの電流−電圧特性の図が出てきたりするので、非直線抵抗のような難問か、と、感じるかも知れません。ですが、やってみると、問題文中のヒントに従って計算してゆけば何とかなります。ヒントなしだと厳しい問題でしょう。ただ、物理の問題としては計算が面倒でボリュームもあるので、どんどん計算を進めて行かないと時間が足りなくなります。
この問題も
'08年前期[1]と同様に、特殊な技巧や物理的な考察をする必要はありません。コンデンサーの基本公式:程度で充分に対応できます。昨年までと比べて、東大物理は、やや基本的な出題に方向転換したのでしょうか?昨年の'07年前期[3]が難問過ぎたことの反省があるのかも知れません。
特殊な状況設定に惑わされないようにすれば、教科書の内容をよく理解し、基本的な問題練習を積んでおくことにより、こうした問題に対処できるはずです。出題者の狙いもそうしたところにあると思われます。難問であれば、正答率も下がります。まずは、基礎をガッチリ固めておいて欲しい、という、東大のメッセージと受け止めましょう。


[3](解答はこちら) この問題が、ことしの3題の中では最も頭を使う問題です。とは言っても、T(1)(4)は基本問題です。Uも物体の運動が単振動であることを示すときによく出てくる形なので、穏当な問題だと思います。基礎がしっかりしている受験生には何でもなかったでしょう。
問題はT
(5)です。[別解]に市販本などに出ている方法、階差数列風の考え方による解答も書いておきましたが、これを物理の試験中に思いつけるでしょうか?思いつける受験生は立派だと私は思いますが、この問題の正答率がどれくらいなのか、東大に聞いてみたいところです。
私は、こうした問題では、微積分を使ってしまう方が易しいと思います。
が出てくれば、として、
 ・・・D
が難なく得られます(これは変数分離型の微分方程式です)。右辺にが出てくるので、普通は、この式を、逆関数の微分法の公式を用いて、
として積分し、
 (C:積分定数)
()
などとすると思いますが、これでは、
となってしまって、が残ってしまいます。何か忘れている条件があるのです。私は、ここではじめて、容器内の気体の量がnモルである、という条件に気づきました。階差数列の和のような考え方が思いつけたとして、この条件に気づけるでしょうか?問題文にヒントが欲しい気がします。容器内の気体の量がnモルという条件は、
と、表されます。これで、Dの形のまま、Sをかけてzで積分すればよいだろう、ということになります。
もちろん、階差数列の和のように考えてきて、容器を
z方向にN個に分けて、
とすれば同じことですが、'08前期[2]に親切な誘導がついているのと比べると、この問題は、ちょっと無理な気がします。多分、ほとんどの受験生はここをパスしてUに進んでしまっていると思うので、実質的な被害を受けた受験生はほとんどいなかったと思いますけれども。白状すると、私は、階差数列のような考え方を全く思いつきもしませんでした。



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