東大物理'09年前期[2]
図2のように、紙面内の上から下向き(x軸の正の向き)に重力(重力加速度の大きさg)がはたらき、紙面に垂直に裏から表の向きに一様な磁場(磁束密度の大きさB)が、EFとGHの間の領域だけに加えられている。EFとGHは水平である。抵抗R，質量mの一様な導線を一巻きにして作った高さa，幅bの長方形のコイルABCDを、磁場のある領域の上方から落下させる。その際、ABCDは紙面内にあり、BCがx軸と平行となるように、常に姿勢を保つようにした。EFとGHの距離はコイルの高さaに等しい。導線の太さはaやbに比べ十分小さく、EFはbに比べ十分長いものとする。また、自己誘導や空気抵抗は無視し、地面との衝突は考えないものとする。
Ⅰ　時刻に、ABとEFの距離がhとなる位置から初速度0でコイルを落下させた。
(1) ABがEFに到達する時刻と、その時のコイルの速さをhを用いて表せ。
(2) ABがGHに到達する時刻をとする。ある時刻t ()に、コイルが速さvで落下しているとする。このとき、コイルにはたらく合力(x軸の正の向きを正とする)をvを用いて表せ。
(3) ABがEFに到達する時のコイルの速さの値によって、時刻からの間にコイルが加速する場合と減速する場合がある。それぞれの場合における、の条件を記せ。
Ⅱ　時刻からの間コイルが等速度で落下するように、時刻におけるコイルの位置をうまく調整してから、初速度0で落下させた。
(1) この場合の、時刻におけるABとEFの距離と時間を求めよ。
(2) 時刻からの間に、コイルで消費される電力Pと熱として発生するエネルギーWを求めよ。
(3) DCがGHに到達する時刻をとする。時間を求めよ。また、落下開始から、磁場のある領域を十分離脱するまでの、コイルの速さの時間変化を表すグラフを描け。グラフには、 (具体的な式は不要)と、それらの時刻における速さの式を記せ。


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解答　頻出パターンで難しくはありませんが、包括的にいろいろなことを問うているので、しっかり勉強してきた受験生でなければ正解できないでしょう。

Ⅰ(1) コイルは、時間の間に距離hだけ自由落下するので、等加速度運動の公式より、

......[答]
......[答]
(2) 時刻におけるABの位置をとします。
コイルに電流が流れるので、コイルの、磁場内に侵入している部分は磁場から力を受けます。
時刻tのときのABのx座標をxとすると、コイルの囲む長方形のうち磁場内に侵入している部分の面積Sは、幅b，高さの長方形の面積として、
面積Sの部分を貫く磁束Φは、
コイルに発生する起電力Vは、電磁誘導の法則より、
　(マイナスはレンツの法則を表します)
フレミング右手の法則より、運動方向(x軸正方向)が親指の向き、磁場の方向が(コイル面の向こうからこっち向き)人差し指の向き、として、起電力の向きは中指の向き、つまり、B→Aの方向に電流を流す向きです。
コイルに流れる電流の大きさIは、オームの法則により、
コイルの辺BAに磁場が及ぼす力の向きを調べます。フレミング左手の法則より、磁場の方向を人差し指の向き、電流の向き(B→Aの向き)を中指の向き、として、辺BAに磁場が及ぼす力の向きは親指の向き、つまり、x軸負方向になります。
長さbの辺BAに磁場が及ぼす力の大きさFは、
コイルの辺CB，AD部分には、互いに逆向きで同じ大きさの力が働くので打ち消し合います。
コイルに働く力の合力は、x軸正方向に働く重力と、x軸負方向に働くFとの合力になり、
......[答]
(3) の間にコイルが加速するのはのときで、減速するのはのときです。の符号はコイルが磁場中を通過している間には変わらず(例えば、コイルが加速してv→大のときでも、→0となるだけです)、ABがEFに到達した時点()の符号で決まります。
従って、加速する条件は、においてより、
......[答]
減速する条件は、においてより、
......[答]

Ⅱ　の間にコイルが等速度で落下するように調整した、と、問題文が言っているのは、のときのコイルの位置を、，つまり、となるようにした、という意味です。
(1) のとき、においてでコイルの速度はのままになります。従って、ABがEFに到達してからGHに到達するまでの時間は、
......[答]
(2) にコイルで消費される電力Pは、
......[答]
熱として発生するエネルギーWは、
......[答]　(EF→GHの間に失われる重力の位置エネルギーに相当します)
(3) でも、のときに辺ABに働いていたのと同じ力(向きはやはりx軸負方向)を磁場がコイルの辺DCに及ぼします。従って、の間もコイルは速度で等速度運動を続けます。辺DCが磁場を抜けてしまうと、では、コイルは磁場から力を受けなくなって自由落下に戻り、加速度gで速度は増大を続けます。コイルの速さの時間変化を表すグラフは右図。


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