東京大学2012年前期物理入試問題

[1]
 高低差がhの水平面Hと水平面Lの間になめらかな斜面があり、東西方向の断面は図1-1のようになっている。水平面Lの東端には南北にのびる鉛直な壁がある。ここで小球の衝突実験を行った。すべての小球は面から離れることなく進み、互いに弾性衝突するものとし、小球と壁も弾性衝突するものとする。重力加速度の大きさをgとし、小球の大きさや回転、摩擦や空気抵抗は無視して以下の設問に答えよ。

T 図
1-1のように、水平面Hで質量mの小球Aを東向きに速さvで滑らせ、質量Mの小球Bを西向きに速さvで滑らせて衝突させたところ、衝突後に小球Aは西向きに進み、小球Bは静止した。
(1) 衝突後の小球Aの速さを求めよ。
(2) 質量の比を求めよ。

U 図
1-2のように、水平面Hで前問の小球Aと小球Bを東向きに同じ速さで滑らせたところ、小球Bは壁で跳ね返り、水平面Lからの高さがxの斜面上の点で小球Aと衝突した。その後、小球Aは斜面を上がって水平面H上の最初の位置を速さで西向きに通過し、一方、小球Bは壁と斜面の間を往復運動した。
(1) 2つの小球が衝突する直前の小球Aの速さを,小球Bの速さをとする。速さの比を求めよ。
(2) xhgを用いて表せ。
V 前問の小球Bが、水平面Lから高さの地点と壁との間を東西方向に往復運動しているとき、図1-3のように小球Bをねらって質量の小球Cを水平面H上の点から発射した。水平面L上で小球Cはうまく小球Bに命中し、その後小球Bが壁で跳ね返ってから、小球Cと小球Bが両方とも水平面Hまで上がってきた。2つの小球は同じ速さで距離をに保ったまま水平面H上を同じ向きに進んだ。その方向は西から北に向けての角度をαとするとであった。
(1) 壁で跳ね返ったあとの小球Bの水平面Lでの運動の無機は、西から北に向けて角度β であった。を求めよ。
(2) 小球Bと小球Cが衝突した地点の壁からの距離dを求めよ。
(3) 水平面H上で発射したときの小球Cの速さVを求めよ。
(4) 小球Cを発射した方向を東から北に向けて角度θ とする。を求めよ。
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[2] 図2-1のように、xy平面上に置かれた縦横の長さがともにの回路を一定の速さvx軸正方向に動かす。回路の左下の点Pと右下の点Qは常にx軸上にあり、点Qの座標をとする。磁束密度Bの一様な磁場が、の領域にのみ紙面に垂直にかけられている。導線の太さ、抵抗およびコンデンサーの素子の大きさ、導線の抵抗および回路を流れる電流が作る磁場の影響は無視できるものとして、以下の設問に答えよ。

T まず、図2-1に示した抵抗値Rの抵抗と導線からなる正方形の回路を用いる。
(1) のときに回路を流れる電流の大きさを求めよ。
(2) のときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。
(3) のときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。
U 次に、設問Tで用いた回路を複数の抵抗を含む回路に取り替える。
(1) 2-2に示した抵抗値Rの抵抗を2つ含む回路を用いた場合に対して、のときにPQ間の導線を流れる電流の大きさを求めよ。
(2) 2-3に示した抵抗値Rの抵抗を3つ含む回路を用いた場合に対して、のときにPQ間の抵抗を流れる電流の大きさを求めよ。

V 最後に、図2-4に示した電気容量Cのコンデンサーと導線からなる回路を用いる。
(1) のときに導線を流れる電流の大きさを求めよ。
(2) のときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。
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[3] 複スリットによる光の干渉を利用して気体の屈折率を測定する実験について考えよう。図3のように、透明な二つの密閉容器 (長さd)を、平面A上にある二つのスリット (スリット間隔a)の直前に置き、Aの後方にはスクリーンBを配置する。ABは互いに平行であり、その間の距離をLとする。スクリーンB上の座標軸xを、Oを原点として図3のようにとる。原点Oから等距離にある。いま、平面波と見なせる単色光(波長λ)を、密閉容器を通してスリットに垂直に照射すると、スクリーンB上には多数の干渉縞が現れる。密閉容器の壁の厚さは無視して、以下の設問に答えよ。

T 密閉容器両方の内部に真空にした場合、光源から二つのスリットまでの光路長は等しいため、単色光はにおいて同位相である。
(1) スクリーンB上の点Px座標をXPの距離をPの距離をとしたとき、距離の差を、aXを用いて表せ。ただし、Laよりも十分に大きいものとする。なお、1よりも十分小さければ、と近似できることを利用してよい。
(2) Pに明線があるとき、XaLλ,および整数mを用いて表せ。

U の容器内を真空に保ったまま、の容器内に気体をゆっくりと入れはじめた。一般に絶対温度T,圧力pの気体の屈折率と真空の屈折率との差は、その気体の数密度(単位体積あたりの気体分子の数)ρに比例する。
(1) 容器内の気体の圧力がpで絶対温度がTのとき、その気体の数密度ρpTk (ボルツマン定数)を用いて表せ。ただし、この気体は理想気体とみなしてよい。
(2) 温度を一定に保ったままの容器内に気体を入れて圧力を上げると、スクリーンB上の干渉縞は、x軸の正方向、負方向のどちらに移動するか。理由をつけて答えよ。

V の容器内を真空に保ったまま、の容器を絶対温度T1気圧(101.3kPa)の気体で満たした。このときの気体の屈折率をnとする。
(1) の容器が真空状態から絶対温度T1気圧の気体で満たされるまでに、それぞれの明線はスクリーンB上を距離だけ移動した。気体の屈折率nを、を用いて表せ。
(2) (1)で、原点ON本の暗線が通過した後、明線が原点Oに来て止まった。気体の屈折率nを、Nを用いて表せ。
(3) 気体の屈折率を精度よく求めるには、測定値の正確さが重要になる。いま、(1)で測定したの正確さで測定でき、(2)で測定したN1本の正確さで数えられるとするとき、気体の屈折率は(1)の方法、(2)の方法のどちらが精度よく求められると考えられるか。理由を付けて答えよ。ただし、とすること。
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