東京大学2013年前期物理入試問題

[1]
  次のT,Uの各問に答えよ。
T 図11のように、なめらかな水平面上で、ばね定数がkのばね2本を向かい合わせに、それぞれ左側および右側の壁に一端を固定し、他方の端に同じ質量mの小球1および小球2をそれぞれ取り付けた。ばねが自然長のとき、小球間の距離はdであった。ただし、小球の大きさとばねの質量は無視してよい。
今、図12のように、小球1を、ばねが自然長になる位置から、ばねが縮む方向に距離sだけ動かし()、そこで静かに放した。以下の設問に答えよ。
(1) 小球1は動き始め小球2に衝突した。衝突直前の小球1の速さを求めよ。
(2) 小球どうしの衝突は弾性衝突であるとして、この衝突直後の小球1と小球2の速さをそれぞれ求めよ。
(3) この衝突後、再び衝突するまでに、小球1側のばねおよび小球2側のばねは、それぞれ自然長から最大どれだけ縮むか答えよ。
(4) の場合に、最初の衝突から再衝突までの時間を求めよ。
U 次に、あらい水平面上に、Tと同じばねと小球を用意した場合を考える。どちらの小球も水平面との間の静止摩擦係数はμ,動摩擦係数はである。重力加速度の大きさをgとして以下の設問に答えよ。
(1) Tと同じように(12)、小球1を、ばねが自然長になる位置から、ばねが縮む方向に距離sだけ動かし、そこで静かに放した。小球1が動き始めるために、sがみたすべき条件を求めよ。
(2) 小球1が動き始めた後、小球2に衝突するためにsがとるべき最小値を求めよ。
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[2] 電荷をもった粒子の運動を磁場により制御することを考える。重力の効果は無視できるものとして、以下の設問に答えよ。ただし、角度の単位はすべてラジアンとする。また、θ を微小な角度とするとき、と近似してよい。

T 図21のように、の領域にのみ、磁束密度がy座標にゆるやかに依存する磁場がz軸方向(紙面に垂直、手前向きを正)にかけられている。質量m,正の電荷qをもつ粒子Pを、x軸正方向に速さvで領域に入射する。
(1) 領域を通過した結果、粒子Pの運動方向が微小な角度だけ曲がり、そのx軸からの角度がθ となった。領域内を通過する間、粒子のy座標の変化は小さく、粒子に働く磁束密度Bはその間一定としてよいとする。このときのθ を求めよ。以後、角度の向きは図21の矢印の向きを正とする。
(2) 領域内の磁束密度がy座標に比例し、正の定数bを用いてと表されるとき、粒子Pは入射時のy座標によらずx軸上の同じ点を通過する。このときf を求めよ。ただし、df に比べて無視できるほど小さいとする。また、領域内を通過する間、粒子のy座標の変化は小さく、粒子に働く磁束密度Bはその間一定としてよいとする。
(3) 22(a)のように配置された電磁石の組の点線で囲まれた範囲(拡大図と座標を図22(b)に示す)を考える。鉄芯(しん)を適切な形に制作すると、の平面内で(2)のような磁場が実現できる。このとき、二つの電磁石に流す電流の向きはどうするべきか。それぞの符号を答えよ。ただし、図中の矢印の向きを正とする。

U 次に、T(2)の領域に加えて、図23のように、を中心とし幅dの範囲に、z軸方向に磁束密度 (kは定数)の磁場がかかっている領域を考える。ここで、領域を両方通過した後の粒子の運動方向の変化は、それぞれの領域でT(1)のように求めた曲げ角の和として計算できるものとし、またdf に比べて無視できるほど小さいとしてよいとする。粒子Pと、同じ電荷qをもつ別の粒子Qとが、x軸正方向に速さvをもってで領域に別個に入射したところ、粒子Pの運動方向が微小な角度,粒子Qの運動方向が角度だけ曲げられて、それぞれ領域に入射した。
(1) 粒子Qの質量を求めよ。
(2) 粒子P,粒子Qが領域に入る際のy座標は、それぞれの何倍となるか。
(3) 粒子P,粒子Qが領域を通過した後の運動方向のx軸からの角度を、それぞれkを用いて表せ。
(4) kの値を調整すると、粒子Pと粒子Qx軸上のの同じ点を通過するようにできる。このときのkの値を求めよ。
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[3] 次のT,U,Vの各問に答えよ。なお、角度の単位はラジアンとする。

T 図31のように、超音波発信器を用いて平面波に近い超音波を板Aに入射する(板中の直線は波面を表す)。振動数を変化させながら縦波の超音波を板面に垂直に入射したところ、振動数がの整数倍になるごとに板が共振した。板Aの厚さを,板A内を伝わる縦波の超音波の速さをとする。また、板の両面は自由端とする。
(1) を用いて表せ。
(2) のとき、振動数の両方で共振が起こった。の最小値を求めよ。

U 固体中では縦波と横波の両方が存在する。縦波と横波は速さが異なり、縦波の方がk()速い。図32のように板Aと、それとは材質の異なる板Bを貼り合わせ、2層構造を持つ板を作製した。板B内を伝わる縦波の速さをとし、とする。また、kの値は物質の種類によらないとする。
Aの表面上の点Oから、図32のように板A内を角度α ()で伝わる縦波を入射した。すると、境界面で縦波の反射波、屈折波のみならず、横波の反射波と屈折波も発生した。反射角は、縦波と横波についてそれぞれθ であった。屈折角は、縦波と横波についてそれぞれøであった。
(1) 縦波の反射角θ が入射角αと等しくなることをホイヘンスの原理に基づいて考える。図33中の記号PQRSを用いて、   を埋めよ。
33において、PQに平行な波面を持つ入射波が速さで進んでいる。波面上の2点がそれぞれPQを通過してから時間T後,Qを通過した側が境界上の点Sに達したとする。このとき、Pから発せられた素元波が時間T後になす半円に対してSから引いた接線RSが反射波の波面となる。△PQSと△SRPにおいて、 ア  イ PSSP (共通)であるから△PQSと△SRPは合同である。また、△PQSを直角とする直角三角形であるから、 ウ 。同様に、△SRPを直角とする直角三角形であるから、 エ 。ゆえに、である。
(2) 横波の反射角について、を求めよ。
(3) 縦波の屈折角ø,横波の屈折角について、を求めよ。

V Uで作製した2層構造を持つ板の境界面から深さhの位置に異物Xが存在している。図34のように、Oより超音波を入射してから異物表面での反射波がOに戻ってくるまでの時間をt とする。t の測定値からhを求める方法を考えよう。
(1) まず、入射角αを調整し、板B中を伝わる屈折波が横波だけとなるようにしたい。の満たすべき条件を求めよ。
(2) (1)の条件を満たすある入射角αOから縦波を入射したところ、境界上の点Yで横波が屈折角で板B中に入射しXに到達した。その後、同じ経路をたどって反射波がOに戻ってきた。t khαを用いて表せ。ただしXの大きさは無視せよ。
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