東大物理'21年前期[1]
図1-1に示すようなブランコの運動について考えてみよう。ブランコの支点をOとする。ブランコに乗っている人を質量mの質点とみなし、質点Pと呼ぶことにする。支点Oから水平な地面におろした垂線の足をGとする。ブランコの長さOPを
，支点Oの高さOGを
とする。ブランコの振れ角
をθとし、θはOGを基準に反時計回りを正にとる。重力加速度の大きさを
とする。また、ブランコは紙面内のみでたわむことなく運動するものとし、ブランコの質量や摩擦、空気抵抗は無視する。
Ⅰ 以下の文章の ア ～ ウ にあてはまる式を、それぞれ直後の括弧内の文字を用いて表せ。
Ⅱ ブランコに二人が乗った場合を考えよう。質量
の質点Aと、質量
の質点Bを考える。図1-2に示すように、初期状態ではAとBが合わさって質点Pをなしているとし、質点Pが
から静かに運動を始めたとする。
においてAはブランコを飛び降り、速さ
で水平に運動を始めた。一方、Aが飛び降りたことにより、Bを乗せたブランコは
でそのまま静止した。その後Aは
に着地した。
(1) Aが飛び降りる直前の質点Pの速さを
として、
を
，
，
を用いて表せ。
Ⅲ ブランコをこぐことを考えよう。ブランコに乗った人が運動の途中で立ち上がったりしゃがみこんだりすることで、ブランコの振れ幅が変化していく。
まず図1-3に示すように、人がブランコで一度だけ立ち上がることを以下のように考える。質量mの質点Pが
(
)から静かに運動を始めた。次に角度
において人が立ち上がったことにより、OPの長さが
から
へと瞬時に変化したとする(
)。OPの長さが変化する直前のPの速さをvとし、直後の速さを
とする。その後、OPの長さが
のままPは運動を続け、角度
(
)で静止した。ただし以下では、ブランコの振れ角θは常に十分小さいとして、
と近似できることを用いよ。
OPの長さが変化する前後に関して以下のように考えることができる。長さOPの変化が十分速ければ、瞬間的にOP方向の強い力が働いたと考えられる。Oを中心とした座標系で考えると、この力は中心力なので、面積速度が長さOPの変化の前後で一定であるとしてよい。つまり、
が成り立つ。
(3) 
を最大にする
と、その時の
を
，
，
を用いて表せ。 次に、人が何度も立ち上がったりしゃがみこんだりしてブランコをこぐことを、以下のようなサイクルとして考えてみよう。n回目のサイクル
(
)を次のように定義する。 「
で静止した質点PがOPの長さ
で静かに運動を開始する。
において立ち上がりOPの長さが
から
へと瞬時に変化する。質点PはOPの長さ
のまま角度
で静止した後、逆向きに運動を始め、角度
で再び静止する。このとき、
でしゃがみこみ、OPの長さは
から再び
へと瞬時に変化する。」 1回目のサイクルを始める前、質点Pは
(
)にあり、OPの長さは
だった。その後、サイクル
を開始し、以下順次
，
，･･･と運動を続けていくものとする。
(4) n回目のサイクルの後のブランコの角度
を、
，
，
，nを用いて表せ。
(5) 
のとき、N回目のサイクルの後に、初めて
となった。Nを求めよ。ただし、
，および
であることを用いてもよい。
解答 立ったり座ったりするうちにブランコの振れ幅がだんだん大きくなることを考察しよう、という問題です。問題文中にヒント(答も？)が書かれているので、問題文をよく確認しながら進めましょう。
Ⅰ(ア) 図1-1で、支点Oと運動開始時点の質点Pの高さの差は、
です。質点Pの力学的エネルギーは位置エネルギーのみで、点Pの方が下なので、 
......[答] (イ) 角度θにおける力学的エネルギーは、運動エネルギーが
，位置エネルギーが
，よって、
......[答] ∴ 
......[答]
∴ 
......[答]
(2) Aが飛び降りてから
に着地するまでの時間をt とすると、鉛直方向は自由落下で、
∴ 
水平方向は等速運動で、
･･･①
解答は
を使わずに答えるので、
を求めておく必要があります。運動開始時点とAが飛び降りる直前との力学的エネルギー保存より、 
∴ 
①に代入して、
.......[答]数値代入すると、
......[答]
Ⅲ(1) 人が立ち上がった直後(
，位置エネルギーは
)と角度
で静止(運動エネルギーは0)した時点との力学的エネルギー保存より、 
(問題文の近似を利用)
∴ 
......[答] ･･･②
(2) 問題文の面積速度一定より、
∴ 
･･･③ これと、②，③より、
......[答]
(3) (2)の結果で、
より、
，従って、
を最大とする
は、
......[答]，そのときの
は、
......[答]
(4) n回目のサイクルでは
において立ち上がるので、(3)で
を最大とする状況であり(というか、(3)の答を暗に教えてくれている？)、(3)の結果を使って考えることができます。(3)の結果で、
，また、
として、 (5) 
，
(4)の結果で
として、 
より、
∴ 
よって、
......[答]
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から静かに運動を開始したとする。支点Oにおける位置エネルギーを0とすると、運動を開始した時点における質点Pの力学的エネルギーは ア (
，
，m，
)で与えられる。角度θにおける力学的エネルギーは、そのときの質点Pの速さをuとして イ (u，
，θ，m，
)で与えられる。力学的エネルギー保存則から、
ウ (
，
，θ，
)となる。
を
，h，
，
，
を用いて表せ。また、
，
，
，
のとき、距離
を有効数字2桁で求めよ。
を
，
，
，
，
を用いて表せ。
を
，
，
，
を用いて表せ。
，公比
の
より、