等加速度運動

(この項目は、変位・速度・加速度の項目を参照してください)
物体が一直線上を一定の加速度で運動するとき、この運動を等加速度運動と言う。物体に働く力が一定であるときに、物体は等加速度運動を行う。
一定
加速度a等加速度運動する物体が運動する方向をx軸、時刻に物体が座標に位置して、速度であったとすると、時刻tにおける速度v,座標xは、
 ・・・(1)
 ・・・(2)
また、変位をとして、
 ・・・(3)
等加速度運動の問題を解く際に、以下の事実を利用すると便利。
横軸に
時刻、縦軸に加速度をとって描いたグラフをatグラフと言う。atグラフの面積は速度変化に等しい。
横軸に
時刻、縦軸に速度をとって描いたグラフをvtグラフと言う。vtグラフの面積は変位に等しい。また、vtグラフの傾きは加速度に等しい。
横軸に
時刻、縦軸に物体の位置する座標をとって描いたグラフをxtグラフと言う。xtグラフの接線の傾きは速度に等しい。

解説 1次元の物体の運動においては、運動する方向をx軸,時刻における物体の座標,物体の速度時刻tにおける物体の座標速度加速度として、


が成り立ちます(変位・速度・加速度を参照)

これより、
x軸上を一定加速度aで運動する物体が、時刻において、座標に位置して、速度であったとすると、時刻tにおける速度vは、
 ・・・@
時刻tにおける物体の座標xは、
 ・・・A
また、@,Aより、として、
となります。

ということは、xtグラフ(等加速度運動では放物線)の接線の傾きが速度だということを意味しています。
また、
ということは、vtグラフの接線の傾きが加速度だということを意味しています。
等加速度運動では、
vtグラフは直線であり、この直線の傾きが加速度です。
は、atグラフの時刻より時刻tまでの面積が、速度変化:であることを示しています。
等加速度運動では加速度一定なので、
atグラフは横軸に平行な直線であり、atグラフと横軸に挟まれた長方形の面積が速度変化になります。
は、vtグラフの時刻より時刻tまでの面積が、変位:であることを示しています。
等加速度運動では、
vtグラフは直線であり、vtグラフと横軸で挟まれた台形の面積が変位になります。

重力加速度を
gとして、物体が地表で重力以外の力を受けずに運動するときの加速度は、鉛直下向きにgです。等加速度運動では、公式(1)(3)はしっかり覚えてください。ですが、以下の例1〜例5は暗記してはいけません。暗記をやり出すと物理は点が取れなくなります。問題の状況に合わせて、初速度、速度、加速度の向きを考慮して符号を決めるようにしてください。

例1 自由落下:時刻において、物体を鉛直上向きに高さの地点から静かに落下させるとき、時刻tにおける高さxは、上記の公式(1)(2)において、として、

物体がの地点まで落下するのに要する時間は、として、

例2 鉛直上方投射:時刻において、物体を鉛直上向きに高さの地点から速さで投げ上げるとき、時刻tにおける高さxは、上記の公式(1)(2)において、はそのまま、として、

物体が最高点に達するまでの時間は、最高点ではより、
物体が投げ上げた地点に戻ってくるまでの時間は、として、より、
鉛直上方投射で投げ上げてから最高点までの運動と、最高点から投げ上げ立ち点に戻ってくるまでの運動とは、ビデオで撮影して逆回しにしたのと同じ運動になります。よって、運動の対称性より、になります。

例3 鉛直下方投射:時刻において、物体を鉛直下向きに高さの地点から速さで投げ下ろすとき、時刻tにおける高さxは、上記の公式(1)(2)において、に代え、として、


2次元の運動では、水平方向と鉛直方向を別々に考えます
地表で重力のみを受ける物体の運動では、水平方向に等速度運動、鉛直方向に等加速度運動になります。

例4 水平投射:水平方向にx軸、鉛直方向に上向きにy軸をとります。時刻において、位置より、物体を水平方向に速さで投げるとき、時刻tにおける速度を,座標をとします。
鉛直方向は、自由落下と同じで、上記の公式
(1)(2)において、として、

水平方向は、速度の等速度運動で、上記の公式(1)(2)において、はそのまま、として、


例5 斜方投射:水平方向にx軸、鉛直方向上向きにy軸をとります。時刻において、位置より、物体を水平方向から角q だけ上向きに速さで投げ上げるとき、時刻tにおける速度を,座標をとします。
初速度の水平方向成分は,鉛直方向成分はです。
鉛直方向は、鉛直上方投射と同じで、上記の公式
(1)(2)において、に代え、として、

水平方向は、速度の等速度運動です。上記の公式(1)(2)において、に代え、として、


上記の公式(3)には時間tが出てきません。公式(3)は、時間t出てこない運動のときに使います。

例6 例5において、となる地点まで来たときの速度の鉛直成分をとして、公式(3)において、として、



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