阪大理系数学'21年前期[2]

空間内に、同一平面上にない4OABCがある。stをみたす実数とする。線分OA11に内分する点を,線分OB12に内分する点を,線分ACsに内分する点をP,線分BCt に内分する点をQとする。さらに4PQが同一平面上にあるとする。
(1) t sを用いて表せ。
(2) であるとき、sの値を求めよ。


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解答 単に計算するだけなので多すぎる条件に惑わされないようにしましょう。混乱しそうなときの合言葉は、「基本に忠実に」ということです。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1) より(ベクトルの内分・外分を参照)
 ・・・@
 ・・・A
 ・・・B
となるのですが、4PQが同一平面上にあるので、は、1次結合の形に表せます。つまり、abを実数として、@,Aを用いて、

 ・・・C
ここで、4OABCが同一平面上にないことから、1次独立で、B,Cのの係数比較により、
 ・・・D
 ・・・E
 ・・・F
Eとより、,Fとより、
Dに代入して、
をかけて、

より、 ......[]

(2) より、です。よって、
 (内積を参照)
ここで、より、

(1)の結果と合わせて、 ∴
より、 ......[]
注.のとき、です。



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