阪大理系数学'22年前期[4]

とする。以下の問いに答えよ。
(1) 方程式は、の範囲でただ1つの解をもつことを示せ。
(2) (1)の解をαとする。実数xを満たすならば、次の不等式が成り立つことを示せ。
(3) 数列
()
で定める。このとき、すべての自然数nに対して、
が成り立つことを示せ。
(4) (3)の数列について、を示せ。


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解答 必ずしも平均値の定理を持ち出さなくてもよいのですが、平均値の定理を利用して答案をスッキリ書くことができる定番の極限値の問題です。

(1) ()とおき、微分すると、
よって、単調減少で、
( )
(
より)
よって、方程式,つまりは、の範囲にただ1つの解を持ちます(中間値の定理を参照)

(2) (1)の解をαとする()であり、は平均値の定理の要件を満たすので、平均値の定理より、
 () ・・・@
を満たす実数cが存在します。よりですが、より
@とより、

(3) nを自然数として、だとすれば、より、(2)の不等式のxとして、
 ・・・A
が言えます。
ここで、Aから示すべき不等式の形を作るためには、まず、つまりとしたいわけです。そこで、
()数学的帰納法で示します。
のとき、より成り立ちます。
のとき、と仮定すると、より、のときも成り立ちます。
よって、数学的帰納法より、
()が成り立ちます。
これより、 ・・・B となります。
また、Aが言えるためには、も示す必要があります。そこで、
数学的帰納法で示します。
のとき、
( )より成り立ちます。
のとき、と仮定すると、であって、
(2)の不等式のxとして、
より、となり、のときも成り立ちます。
よって、数学的帰納法より、
()が成り立ちます。
以上より、となるので、Aが言えて、Bより、すべての自然数
nについて、 ・・・C が成り立ちます。

(4) Cを、として繰り返し使うと、
,・・・,
即ち、
ここで、とすると、
はさみうちの原理より、



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